KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

11.1. MALI LONGITUDINALNI TITRAJI JEDNODIMENZIJSKOG DISKRETNOG SUSTAVA ČESTICA 301
ili po komponentama
ψ(j, t) =
N∑
n=1
ψ n (j, t) =
N∑
n=1
sin njπ
N + 1
[
]
a n cos(ω n t) + b n sin(ω n t) . (11.9)
U gornjem izrazu je ω n = 2 √ K/m sin[nπ/(2(N +1))], a 2 N konstanata a n i b n se odreduju iz
2N početnih (u t = 0) vrijednosti položaja, ψ(j, t = 0), i brzina, ˙ψ(j, t = 0) svih N harmonijskih
oscilatora.
11.1.1 Granica kontinuuma
Promatrajmo sada gornji skup harmonijskih oscilatora u granici kada njihov broj N neograničeno
raste, ali se istovremeno udaljenost medu njima a 0 neograničeno smanjuje, tako da
udaljenost izmedu prvog i posljednjeg od njih N · a 0 = L ostaje konstantna. S M ćemo označiti
ukupnu masu sustava M = Nm. Neka se harmonijski oscilatori nalaze rasporedeni duž osi
x. Sada otklon od ravnotežnog položaja više nećemo označavati s ψ(j) nego s ψ(x), gdje je
x = j · a 0 . Najmanji razmak medu harmonijskim oscilatorima je ∆ x = 1 · a 0 . Jednadžba
gibanja diskretnog sustava (11.2)
∂ 2 ψ(j, t)
∂ t 2
= K m
∂ 2 ψ(j, t)
∂ j 2 ,
s rubnim uvjetima ψ(j = 0, t) = ψ(j = N + 1, t) = 0, prelazi sada u jednadžbu (imajmo sve
vrijeme na umu da je ∆ x = a 0 → 0)
tj.
∂ 2 ψ(j, t)
∂ t 2 = a 2 0
K
m
∂ 2 ψ(x, t)
∂ x 2 ,
∂ 2 ψ
∂t 2
= v2 ∂2 ψ
∂x 2 . (11.10)
To je parcijalna diferncijalna jednadžba drugog reda koja se zove jednodimenzijska valna
jednadžba longitudinalnog vala. Veličina v = a 0
√
K/m je brzina širenja vala. O njezinom
općenitom rješavanju ćemo više govoriti u slijedećem odjeljku. Zamjenom j = x/a 0 i L = a 0 N,
opće rješenje ove jednadžbe smo dobili u obliku (11.9), prelazi u
ψ(x, t) =
N∑
n=1
sin nπx [
]
a n cos(ω n t) + b n sin(ω n t) ,
L
a frekvencije titraja su
ω n =
√
2KN
M
sin α n
2 ,
gdje kut α n , u skladu s (11.6), poprima N diskretnih vrijednosti izmedu 0 i π.