KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

314 POGLAVLJE 11. MALI TITRAJI SUSTAVA ČESTICA
a vremensku periodičnost sa T
ψ n (x, t) = ψ n (x, t + T ). (11.25)
Prostorna ovisnost ψ n (x, t) je sadržana u članu sin[(2 n + 1)πx]/(2 L), pa se λ odreduje iz
sin
(2 n + 1)πx
2 L
(2 n + 1)π(x + λ)
= sin
2 L
(2 n + 1)πx (2 n + 1)πλ
= sin cos
2 L
2 L
Gornja je jednadžba zadovoljena ako je
cos
(2 n + 1)πλ
2 L
= 1, sin
+ cos
(2 n + 1)πλ
2 L
(2 n + 1)πx
2 L
= 0,
sin
(2 n + 1)πλ
2 L
tj. ako je [(2 n + 1)πλ]/(2 L) = 2π · m, za m = 1, 2, · · · . Opet je najmanja vrijednost λ ona sa
m = 1, tako da zaključujemo, da je za svaki dani n
λ = λ n =
4L , n = 0, 1, 2, . . . .
2 n + 1
Kao i valni broj k n i valna duljina je diskretna, pri čemu je opet k n λ n = 2π.
Ispitajmo sada uvjete na vremensku periodičnost
sin
cos
(2 n + 1)πct
2 L
(2 n + 1)πct
2 L
(2 n + 1)πc(t + T )
= sin
2 L
(2 n + 1)πct (2 n + 1)πcT
= sin cos + cos
2 L
2 L
(2 n + 1)πc(t + T )
= cos
2 L
(2 n + 1)πct (2 n + 1)πcT
= cos cos − sin
2 L
2 L
Obje gornje jednadžbe su zadovoljene, ako je
cos
(2 n + 1)πcT
2 L
= 1, sin
(2 n + 1)πcT
2 L
(2 n + 1)πct
2 L
(2 n + 1)πct
2 L
= 0,
sin
sin
(2 n + 1)πcT
2 L
(2 n + 1)πcT
2 L
tj. ako je [(2 n + 1)πcT ]/(2 L) = 2π · m. Period je najmanja takva vrijednost, tj. ona za m = 1
Frekvencija je
Brzina vala c je opet
T = T n =
4L
, n = 0, 1, 2, . . . .
(2 n + 1)c
ν n = 1 T n
=
ν n · λ n = c.
(2 n + 1)c
.
4L
Zbog linearnosti i homogenosti valne jednadžbe i svaka linearna kombinacija rješenja ψ n (x, t)
je takoder rješenje. Zato je opće rješenje oblika
∞∑
[
]
(2 n + 1)πx (2 n + 1)πct (2 n + 1)πct
ψ(x, t) = sin a n cos + b n sin . (11.26)
2 L
2 L
2 L
n=0
,
.