KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

7.4. MULTIPOLNI RAZVOJ POTENCIJALA 191
Operator gradijenta u sfernom koordinatnom sustavu se može naći npr. u [10], pa jednostavnom
derivacijom, dobivamo polje dipola
(
⃗E dip = − ˆr ∂ ∂r + ˆθ 1 ∂
r ∂θ + ˆϕ 1 )
∂ 1 p cos θ
r sin θ ∂ϕ 4πɛ 0 r 2
1 p
(
)
= 2 cos θˆr + sin θˆθ = 1 1
(3p cos θˆr − pẑ ) .
4πɛ 0 r 3 4πɛ 0 r3 Prepoznamo li u gornjem izrazu p cos θ kao skalarni umnožak ⃗p · ˆr , a pẑ kao ⃗p , električno
polje dipola postaje
⃗E dip (⃗r) = 1
4πɛ 0
3(⃗p · ˆr )ˆr − ⃗p
r 3 .
Za razliku od polja točkastog naboja (7.5) (uz zamjene m → q i −G → 1/4 π ɛ 0 ) koje je
sferno simetrično, polje dipola nije sferno simetrično, već ovisi o kutu θ koji mjeri otklon od
osi dipola. Sila kojom ovaj dipol djeluje na točkasti naboj iznosa q koji se nalazi u točki ⃗r je
jednaka ⃗ F dip = q ⃗ E dip (⃗r).
S obzirom da električni naboji mogu biti pozitivni i negativni, a gravitacijski naboj (teška masa)
je uvijek pozitivan, možemo se zapitati postoji li neki gravitacijski sustav tijela koji bi proizveo
dipolni potencijal oblika (7.36)? Pogledajmo sliku 7.7. Dvojni sustav zvijezda sastavljen od
Slika 7.7: Uz objašnjenje gravitacijskog dipola.
jedne velike i jedne male zvijezde ili sustav sastavljen od zvijezde i masivnog planeta, možemo
zamisliti kao rezultat zbrajanja (pridodavanja) potencijala od velike mase iznosa M + m i
dvaju manjih masa iznosa ± m ′ od kojih je jedna negativna. Ova negativna masa je samo
fikcija korisna za razumjevanje oblika potencijala. Na udaljenostima velikim u usporedbi s
dimenzijom sustava, gravitacijski potencijal će biti približno jednak zbroju potencijala velike
mase iznosa M + m (to je potencijal točkastog izvora) i potencijala dipola sastavljenog od
pozitivne i negativne mase m ′ .
Ukoliko se promatra sustav dvije zvijezde jednakih masa, kao na slici 7.8, rezultantni potencijal
zbog simetrije mase obje zvijezde, neće sadržavati dipolni nego će poslije monopolnog, prvi