KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

2.6. SFERNI KOORDINATNI SUSTAV 53
Slika 2.20: Smjerovi baznih vektora pravokutnog (A) i sfernog (B) koordinatnog sustava.
Primjetimo da je promjena dˆr okomita na sam vektor ˆr , tj. da je dˆr · ˆr = 0 kao što i mora
biti, jer bi promjena ˆr u smjeru ˆr promjenila normu od ˆr i on više ne bi bio jedinični vektor.
Na sličan način se i iz relacije (2.66) dobije
dˆθ = ˆx d(cos θ cos ϕ) + ŷ d(cos θ sin ϕ) − ẑ d(sin θ) (2.71)
= (−ˆx sin θ cos ϕ − ŷ sin θ sin ϕ − ẑ cos θ)dθ + (−ˆx cos θ sin ϕ + ŷ cos θ cos ϕ)dϕ
= −ˆr dθ + ˆϕ cos θdϕ.
I ovdje je dˆθ okomito na ˆθ . I na kraju, vektor d ˆϕ
Opet je
d ˆϕ = (−ˆx cos ϕ − ŷ sin ϕ)dϕ = (− sin θˆr − cos θˆθ )dϕ. (2.72)
dˆr · ˆr = dˆθ · ˆθ = d ˆϕ · ˆϕ = 0.
Pomoću gornjih diferencijala možemo izračunati diferencijalni volumen u okolici točke ⃗r. Neka
se koordinata r promjeni od vrijednosti r na r + dr, koordinata θ od θ na θ + dθ i koordinata
ϕ od ϕ na ϕ + dϕ. Zbog infinitezimalnog karaktera ovih promjena, dobiveni infinitezimalni
volumen se može aproksimirati paralelopipedom čiji su vektori stranica ⃗a , ⃗ b ,⃗c , upravo jednaki
(slika 2.21)
⃗a = ⃗r(r + dr, θ, ϕ) − ⃗r(r, θ, ϕ) = ∂ ⃗r dr = ˆr dr,
∂r
⃗ b =
∂ ⃗r
⃗r(r, θ + dθ, ϕ) − ⃗r(r, θ, ϕ) =
∂θ dθ = rˆθ dθ,
⃗c = ⃗r(r, θ, ϕ + dϕ) − ⃗r(r, θ, ϕ) = ∂ ⃗r dϕ = r sin θ ˆϕ dϕ.
∂ϕ
Prema (2.7) volumen računamo pomoću mješovitog umnoška vektora
dV = ⃗a · ( ⃗ b × ⃗c ) = ˆr dr · (rˆθ dθ × r sin θ ˆϕ dϕ) = r 2 sin θdrdθdϕ.