KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

136POGLAVLJE 6. GIBANJE POD DJELOVANJEM ELASTIČNE SILE: HARMONIJSKI OSCILATOR I MATEMATIČK
Slika 6.4: Jako prigušeno titranje uz D 2 = γ 2 − ω 2 0 > 0.
4
3
( A )
2
a
+ > 0, a - > 0
1
x ( t )
0
-1
-2
a +
< 0, a
- < 0
-3
-4
0 5 10 15 20 25 30
t
x(t)
1
0.5
0
-0.5
-1
a
+ - | a - | < 0 ( B )
-1.5
0 5 10 15 20 25 30
t
Ako su a + i a − istog predznaka (a to ovisi o početnim uvjetima), i otklon x(t) će biti stalno
istog predznaka, pa će se čestica približavati položaju ravnoteže samo s jedne strane (slika
6.4.A), ne prelazeći niti jednom na drugu stranu.
Ako je a − (koji stoji uz exp(−|b − |t), koji brže opada jer je |b + | < |b − |) suprotnog predznaka,
a većeg iznosa od a + , tada čestica započinje gibanje s jedne strane, prijede na drugu stranu i s
te druge strane se približava položaju ravnoteže (slika 6.4.B).
Ovaj oblik rješenja se naziva neperiodičkim.
(D 2 = 0) Ako je D 2 = 0 ili γ 2 = ω 2 0, tada je i b − = b + = −γ, pa imamo samo jedno rješenje
za x
x 1 = e −γ t ,
a ne dva. Drugo rješenje, linearno nezavisno od ovoga, doznajemo iz teorije rješavanja diferencijalnih
jednadžba, relacija (6.49), i ono je oblika
x 2 = t · e −γ t .
Uvrštavanjem ovog izraza u jednadžbu gibanja harmonijskog oscilatora s prigušenjem, lako je
uvjeriti se da ono zadovoljava jednadžbu. Sada opet imamo dva linearno nezavisna rješenja, i