KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

15.2. POISSONOVE ZAGRADE 417
veza s Hamiltonovim jednadžbama
Pogledajmo čemu su jednake Poissonove zagrade poopćene koordinate i poopćene količine gibanja
s Hamiltonovom funkcijom:
gdje smo uvrstili relacije
{q s , H} =
=
S∑
( ∂ qs
∂ q s ′ ∂ p s ′
S∑
(
∂ H
δ s,s ′
∂ p s ′
s ′ =1
s ′ =1
∂ H
− ∂ H
∂ q s ′
− ∂ H
∂ q s ′
)
∂ q s
∂ p s ′
)
· 0
= ∂ H = (15.2) = ˙q s , (15.6)
∂ p s
S∑
( ∂ ps ∂ H
{p s , H} =
− ∂ H )
∂ p s
∂ q
s ′ s ′ ∂ p s ′ ∂ q s ′ ∂ p s ′
=1
S∑
(
∂ H
= 0 · − ∂ H )
δ s,s ′
∂ p s ′ ∂ q s ′
∂ q s
= δ s,s ′,
∂ q s ′
s ′ =1
= − ∂ H
∂ q s
= (15.2) = ṗ s , (15.7)
∂ p s
= δ s,s ′,
∂ p s ′
∂ q s
= 0,
∂ p s ′
∂ p s
= 0. (15.8)
∂ q s ′
Pomoću Poissonovih zagrada (15.6) i (15.7), zaključujemo da se Hamiltonove kanonske jednadžbe
gibanja (15.2), mogu napisati u potpuno simetričnom obliku
˙q s = {q s , H}, ṗ s = {p s , H}. (15.9)
Koristeći (15.8), lako je izračunati Poissonove zagrade izmedu samih poopćenih koordinata i
poopćenih količina gibanja: one su različite od nule samo kada se računaju izmedu poopćene
koordinate i njoj pridružene (koje se odnose na isti stupanj slobode) poopćene količine gibanja
{q k , q l } =
{p k , p l } =
{q k , p l } =
S∑
( ∂ qk
s=1
∂ q s
S∑
( ∂ pk
s=1
S∑
s=1
∂ q s
∂ q l
∂ p s
∂ p l
∂ p s
( ∂ qk
∂ q s
∂ p l
∂ p s
− ∂ q )
l ∂ q k
=
∂ q s ∂ p s
− ∂ p )
l ∂ p k
=
∂ q s ∂ p s
− ∂ p )
l ∂ q k
=
∂ q s ∂ p s
S∑ ( )
0 − 0 = 0,
s=1
S∑ ( )
0 − 0 = 0, (15.10)
s=1
S∑ ( )
δ k,s δ s,l − 0 = δ k,l .
Pokažimo još i kako se ukupna vremenska promjena proizvoljne funkcije
f [ q s (t), p s (t); t ] ,
može napisati preko Poissonove zagrade (u izvodu ponovo koristimo Hamiltonove kanonske
s=1