KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

156POGLAVLJE 6. GIBANJE POD DJELOVANJEM ELASTIČNE SILE: HARMONIJSKI OSCILATOR I MATEMATIČK
Putanje koje čestica opisuje u ravnini (x, y) se zovu Lissajousove 6 krivulje. Nekoliko različitih
Lissajousovih krivulja je prikazano na slici 6.12. Razmotrimo neke njihove najjednostavnije
Slika 6.12: Lissajousova krivulje kao rješenja jednadžba: x = A sin(ω 0,x t + δ), y = A sin(ω 0,y t) za δ = π/2 i
navedene vrijednosti ω 0,x i ω 0,y , pri čemu je ω 0,x neparan prirodan broj i |ω 0,x − ω 0,y | = 1
ω 0,x = 1, ω 0,y = 2 ω 0,x = 3, ω 0,y = 2 ω 0,x = 3, ω 0,y = 4
slučajeve:
ω 0,x = 5, ω 0,y = 4 ω 0,x = 5, ω 0,y = 6 ω 0,x = 9, ω 0,y = 8
♣ Neka su frekvencije titranja iste ω 0,x = ω 0,y = ω 0 , tj. K x = K y . Sada je, prema
(6.51), elastična sila usmjerena prema ishodištu. Rješenja za pomak u x i y smjeru su
x
= cos ω 0 t cos Φ x + sin ω 0 t sin Φ x , (6.53)
A x
y
= cos ω 0 t cos Φ y + sin ω 0 t sin Φ y .
A y
To su parametarske jednadžbe krivulje u ravnini (x, y), s vremenom t kao parametrom. Eliminirat
ćemo vrijeme, kako bismo dobili izravnu vezu x i y. Pomnožimo gornju jednadžbu s
cos Φ y , a donju s − cos Φ x i zbrojimo ih
x
A x
cos Φ y − y A y
cos Φ x = sin ω 0 t sin(Φ x − Φ y ).
Ako sada gornju od jednadžba (6.53) pomnožimo sa − sin Φ y , a donju sa sin Φ x i zbrojimo,
dobivamo
− x A x
sin Φ y + y A y
sin Φ x = cos ω 0 t sin(Φ x − Φ y ).
6 Ove su krivulje proučavali Nathaniel Bowditch 1815, a kasnije, 1857, i puno detaljnije Jules Antoine Lissajous.