KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

180 POGLAVLJE 7. GRAVITACIJA I CENTRALNE SILE
Za integraciju po θ ′ , uvodimo novu varijablu v relacijom
v 2∣ ∣ r+r ′
|r−r ′ |
= r 2 + r ′ 2 − 2rr ′ cos θ ′∣ ∣ π , 0
2vdv = 2rr ′ sin θ ′ dθ ′ ,
cos θ ′ = −v2 + r 2 + r ′ 2
.
2rr ′
Nakon uvrštavanja u izraz za silu i skraćivanja, dobiva se
⃗F G (⃗r) = ẑ −3GmM
2(R 3 v − R 3 u)
∫ Rv
= ẑ −3GmM
2r 2 2(Rv 3 − Ru)
3
2vdv r − r ′ (−v 2 + r 2 + r ′ 2 )/(2rr ′ )
,
|r−r ′ | 2rr ′ v 3
(
r ′ dr ′ 2r ′ + (r − r )
′ )(r + r ′ )
− |r − r ′ | . (7.20)
R u
|r − r ′ |
R u
r ′ 2 dr ′ ∫ r+r ′
∫ Rv
Sada trebamo razmotriti tri moguća položaja čestice u odnosu na šuplju kuglu:
IN: čestica može biti u šupljini,
INTER: čestica može biti u prostoru izmedu R u i R v , i
OUT: čestica može biti izvan kugle.
IN: unutar šupljine je uvijek r < R u ≤ r ′ , pa je i |r − r ′ | = r ′ − r, pa (7.20) postaje
⃗F G IN (⃗r) = −3GmM ∫
ẑ
Rv
[
r ′ dr ′ 2r ′ + (r − r ]
′ )(r + r ′ )
− (r ′ − r)
2(Rv 3 − Ru)
3 2r 2 R u
r ′ − r
= −3GmM ∫
ẑ
Rv
r ′ dr ′ [2r ′ − (r + r ′ ) − (r ′ − r)] = 0.
2(Rv 3 − Ru)
3 2r 2 R u
⃗F G IN
F
(⃗r) = 0, =⇒ ⃗g IN = ⃗ G
IN
= 0. (7.21)
m
Dobili smo važan rezultat: sila na česticu mase m koja se nalazi u šupljini kugle, je jednaka
nuli.
INTER: kolika je sila F ⃗ INT ER
G na česticu koja se nalazi u dijelu prostora R u ≤ r ≤ R v ? U ovom
slučaju integraciju u (7.20) treba rastaviti na dva dijela:
R u ≤ r ′ ≤ r ⇒ |r − r ′ | = r − r ′ ,
r ≤ r ′ ≤ R v ⇒ |r − r ′ | = r ′ − r.
Za silu F ⃗ INT ER
G u prostoru izmedu R u i R v , dobiva se
INT ER ⃗F G (⃗r) = −3GmM
2(Rv 3 − Ru)
3
= −3GmM
2(Rv 3 − Ru)
3
= −ẑ G m · m INT ER
r 2 ,
(∫
ẑ r
r ′ dr ′ 4r ′ +
2r 2 R u
ẑ 4
2r 2 3 (r3 − Ru) 3 = −Gm
)
r ′ dr ′ · 0
r
[
]
4
ẑ
ρ 0
3 (r3 − Ru)π
3
∫ Rv
gdje je s m INT ER označen dio mase kugle sadržan u dijelu prostora izmedu R u i r
m INT ER = ρ 0
4 π
3 (r3 − R 3 u).
r 2