KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

18 POGLAVLJE 2.
MATEMATIČKI UVOD - ELEMENTI VEKTORSKOG RAČUNA
Izvedemo li sada granični prijelaz
lim
∆ q → 0
⃗V (q + ∆ q) − ⃗ V (q)
∆ q
= ˆx lim
∆ q → 0
+ ŷ lim
∆ q → 0
+ ẑ lim
∆ q → 0
V x (q + ∆ q) − V x (q)
∆ q
V y (q + ∆ q) − V y (q)
∆ q
V z (q + ∆ q) − V z (q)
.
∆ q
No, gornje granične vrijednosti prepoznajemo kao derivacije skalarnih funkcija - komponenata
vektorskog polja
lim
∆ q → 0
⃗V (q + ∆ q) − ⃗ V (q)
∆ q
= ˆx d V x
d q + ŷ d V y
d q + ẑ d V z
d q = d d q
Tako smo došli do izraza za derivaciju vektorskog polja
[
]
ˆx V x (q) + ŷ V y (q) + ẑ V z (q) = d V ⃗
d q .
d ⃗ V
d q =
lim
∆ q → 0
⃗V (q + ∆ q) − ⃗ V (t)
∆ q
= ˆx d V x
d q + ŷ d V y
d q + ẑ d V z
d q . (2.9)
Za skalarno polje s(q) i vektorska polja ⃗ V (q), ⃗ U(q) se lako dokazuje (npr. raspisom po komponentama
u pravokutnom koordinatnom sustavu) da vrijede slijedeća pravila:
d (s ⃗ V )
d q
d ( V ⃗ · ⃗U)
d q
d ( ⃗ V × ⃗ U)
d q
= d s
d q ⃗ V + s d ⃗ V
d q ,
= d ⃗ V
d q ⃗ U + ⃗ V d ⃗ U
d q ,
= d ⃗ V
d q × ⃗ U + ⃗ V × d ⃗ U
d q .
Primjenimo li prvo od gornja tri pravila na zapis vektora u obliku ⃗ V (q) = V (q) ˆV (q), dobivamo
d V ⃗
d q = d (V ˆV )
d q
= d V
d q ˆV + V d ˆV
d q ,
pri čemu smo uzeli u obzir mogućnost da smjer vektora ⃗ V (odreden jediničnim vektorom ˆV )
ovisi o varijabli q.
Pokažimo da je derivacija jediničnog vektora okomita na sam jedinični vektor
ˆV = ˆV (q). Derivirajmo po q skalarni umnožak
/
ˆV · ˆV d
= 1
d q ,
pa ćemo dobiti
d ˆV
d q · ˆV + ˆV · d ˆV
d q = 0 ⇒ 2 ˆV · d ˆV
d q = 0 ⇒ ˆV ⊥
d ˆV
d q . (2.10)