KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

426 POGLAVLJE 15. HAMILTONOVE JEDNADŽBE
djelovanja S : energija puta vrijeme. U skladu s relacijama (15.10), za kvantne operatore
koordinate i količine gibanja, se može napisati
[q k , q l ] −
= 0, [p k , p l ] −
= 0, [q k , p l ] −
= ı δ k,l . (15.20)
Napisano u pravokutnom koordinatnom sustavu, različiti od nule su samo komutatori izmedu
koordinata i količina gibanja koji se odnose na istu česticu (tj. isti stupanj slobode)
[x k , p x,l ] −
= ı δ k,l , [y k , p y,l ] −
= ı δ k,l , [z k , p z,l ] −
= ı δ k,l , (15.21)
a svi ostali komutatori su jednaki nuli
[x k , x l ] −
= 0, [x k , y l ] −
= 0, [x k , z l ] −
= 0,
[y k , y l ] −
= 0, [y k , z l ] −
= 0,
[z k , z l ] −
= 0,
[p x,k , p x,l ] −
= 0, [p x,k , p y,l ] −
= 0, [p x,k , p z,l ] −
= 0,
[p y,k , p y,l ] −
= 0, [p y,k , p z,l ] −
= 0,
[p z,k , p z,l ] −
= 0,
[x k , p y,l ] −
= 0, [x k , p z,l ] −
= 0,
[y k , p x,l ] −
= 0, [y k , p z,l ] −
= 0,
[z k , p x,l ] −
= 0, [z k , p y,l ] −
= 0.
⃗r - reprezentacija
Lako je uvjeriti se da će svi gornji komutatori biti zadovoljeni, ako se za operator koordinate
odabere obično množenje s istoimenom koordinatom, a za operator količine gibanja operator
deriviranja po istoimenoj koordinati pomnožen s −ı
x k = x k , y k = y k , z k = z k ,
p x,k = −ı ∂
∂ x k
, p y,k = −ı ∂
∂ y k
, p z,k = −ı ∂
∂ z k
.
(15.22)
Ovakav odabir se naziva ⃗r ili koordinatna reprezentacija. Da bi se provjerile komutacijske
relacije (15.21), kao i one iza njih, djelujmo komutatorima na proizvoljnu derivabilnu funkciju
koordinata i količina gibanja f(x 1 , · · · , p x,1 , · · · ). Tako se npr. za komutator koordinate i njoj
pridružene (konjugirane) količine gibanja dobije
[x k , p x,l ] −
f =
=
(
−x k ı
∂
∂ x l
+ ı
✟
−x
✟ ✟✟✟✟✟ k ı ∂ f + ı
∂ x l
= ı δ k,l f,
∂ )
x k f = −x k ı ∂ f + ı ∂ (x k f)
∂ x l ∂ x l ∂ x l
∂ x k
∂ f
f + ı
∂ x }{{} l ✟ ✟✟✟✟✟ x k
∂ x l
δ k,l