KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

13.5. GIBANJE ZVRKA 375
Slika 13.10: Vrtnja zvrka u gravitacijskom polju Zemlje.
(koje opisuju kutovi Φ i Θ), ali se NE vrti oko svoje ê 3 osi (jer bi tada zvrk mirovao u tom
sustavu). U sustavu glavnih osi ê j , zvrk se vrti kutnom brzinom ˙Ψ oko glavne osi ê 3 .
Uslijed djelovanja momenta vanjskih sila, moment količine gibanja zvrka će se mijenjati u skladu
s ⃗ ˙ L = M. ⃗ U sustavu glavnih osi tijela je moment količine gibanja sada jednak
⃗L = I 1 ω 1 ê 1 + I 2 ω 2 ê 2 + I 3 (ω 3 + ˙Ψ ) ê 3 ,
pri čemu su komponente vektora vrtnje ω j = ω j (Θ(t), Φ(t)). Sada postupamo kao u izvodu
Eulerovih jednadžba, s tom razlikom da u izrazu za L ⃗ imamo i dodatni član od ˙Ψ . Vezu
izmedu vremenske promjene L ⃗ u inercijskom i neinercijskom sustavu znamo iz (8.3), a ona
ovisi samo o vrtnji neinercijskog sustava kao cjeline, u odnosu na inercijski sustav
d L ⃗ = d ⃗ L
+ ⃗ω × L
d t ∣ d t ∣ ⃗ (13.24)
in. nin.
= I 1 ˙ω 1 ê 1 + I 2 ˙ω 2 ê 2 + I 3 ( ˙ω 3 + ¨Ψ ) ê 3
+ (ω 1 ê 1 + ω 2 ê 2 + ω 3 ê 3 ) × [I 1 ω 1 ê 1 + I 2 ω 2 ê 2 + I 3 (ω 3 + ˙Ψ ) ê 3 ]
= ê 1 [I 1 ˙ω 1 + (I 3 − I 2 ) ω 2 ω 3 + I 3 ω 2 ˙Ψ ]
+ ê 2 [I 2 ˙ω 2 + (I 1 − I 3 ) ω 1 ω 3 − I 3 ω 1 ˙Ψ ]
+ ê 3 [I 3 ( ˙ω 3 + ¨Ψ ) + (I 2 − I 1 ) ω 1 ω 2 ].
U inercijskom sustavu na zvrk djeluje vanjska gravitacijska sila. Kao što smo pokazali relacijom
(10.12) ta sila djeluje kao da je sva masa zvrka skoncentrirana u njegovom središtu mase. Neka
se središte mase nalazi u točki l ê 3 , gdje je s l označena udaljenost od ushodišta O do središta
mase SM. Tada je moment gravitacijske sile jednak
⃗M = l ê 3 × m g (−ẑ ) = −l m g ê 3 × [(ẑ ê 1 ) ê 1 + (ẑ ê 2 ) ê 2 + (ẑ ê 3 ) ê 3 ] .
Budući da vektor ê 1 leži u ravnini (x, y), to je ẑ ê 1 = 0. Sa slike 13.10 se vidi da je ẑ ê 2 =
cos(π/2 − Θ) = sin Θ (ili iz jednadžba (13.19) uz Ψ ≡ 0). Posljedni član uglate zagrade ima