KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

380 POGLAVLJE 13. PROSTORNO GIBANJE KRUTOG TIJELA
tj. precesijska brzina više neće biti konstantna, kao u (13.32), nego će se mijenjati s vremenom
kroz ovisnost u = u(t).
Pretpostavimo da je Θ = Θ(t) periodička funkcija, tj. da Θ poprima samo vrijednosti izmedu
neke dvije granične vrijednosti Θ 1 ≤ Θ ≤ Θ 2 i promatrajmo vremenski interval dt u kojemu
se Θ smanjuje. Tada će biti ˙u = − ˙Θ sin Θ > 0, pa iz jednadžbe (13.34) zadržavamo pozitivni
korjen
d u
d t = + √ ∫
P 3 (u) t =
d u
√
P3 (u) + const.
Gornji se integral može izračunati u terminima eliptičkih funkcija koje jesu periodične, što je
suglasno s našom pretpostavkom o periodičnosti u. Potražimo nule polinoma P 3 (u) = 0
P 3 (u) = (1 − u 2 ) (α − β u) − (γ − δ u) 2
0 = β u 3 − (α + δ 2 ) u 2 + (2 γ δ − β) u + (α − γ 2 ).
Zašto su nam važne baš nule polinoma? U tim je točkama ˙u 2 = P 3 (u) = 0, tj. ˙Θ = 0, nutacijska
brzina je nula. Tu se dakle, zvrk zaustavlja u svom nutacijskom gibanju i, zbog periodičnosti,
počinje se gibati u suprotnom smjeru. Prema tome nul-točke polinoma P 3 (u) odeduju rubne
točke Θ 1 i Θ 2 nutacijskog gibanja (slika 13.11.B). Zaboravimo, na trenutak, da je 0 ≤ u ≤ 1 i
pogledajmo P 3 (u) i za u-ove izvan tog intervala. Konstanta β je pozitivna veličina, pa je zato
P 3 (u → ±∞) = ±∞ (slika 13.12). Takoder se lako vidi da je
Slika 13.12: Uz odredivanje nul-točaka polinoma P 3 (u).
P 3 (u = +1) = −(γ − δ) 2 < 0, P 3 (u = −1) = −(γ + δ) 2 < 0.
Budući da je P 3 (u = +1) < 0, a P 3 (u → ∞) > 0, jedna nul-točka P 3 , nazovimo ju u 3 , mora
ležati u nefizikalnom području izmedu u = 1 i u → ∞. Iz ovoga zaključujemo da se preostale
dvije nul-točke
u 1 = cos Θ 1 , u 2 = cos Θ 2 ,
moraju nalaziti u intervalu 0 ≤ u ≤ 1. U nekim posebnim slučajevima se može dogoditi da je
u 1 = u 2 ili u 2 = u 3 = 1. Pogledajmo koje je fizičko značenje ovih rezultata. Iz činjenice da