KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

13.5. GIBANJE ZVRKA 379
Slika 13.11: (A) Precesija: projekcija SM zvrka se kutnom brzinom ˙Φ ± giba po kružnici polumjera l sin Θ u
ravnini (x, y). (B) Nutacija: os simetrije zvrka ê 3 se periodički otklanja od i prema osi ẑ inercijskog sustava.
komponente momenta količine gibanja
1
(
2 I 1 ˙Θ 2 + ˙Φ 2 sin Θ)
2 + 1 2 I 3 Ω 2 + m g l cos Θ = E = const.,
Iz druge od gornjih jednadžba izračunamo ˙Φ
I 1 ˙Φ sin 2 Θ + I 3 Ω cos Θ = L z = const.
˙Φ = L z − I 3 Ω cos Θ
I 1 sin 2 Θ
(13.33)
i uvrstimo u prvu, koja time postaje nelinearna diferencijalna jednadžba prvog reda za računanje
Θ = Θ(t)
[
1
2 I 1
˙Θ 2 + (L ]
z − I 3 Ω cos Θ) 2
I1
2 sin 2 + 1 Θ 2 I 3 Ω 2 + m g l cos Θ − E = 0.
Gornja jednadžba se rješava uvodenjem nove varijable u(t) = cos Θ(t). Prema svojoj definiciji,
kut Θ se može mijenjati u intervalu 0 ≤ Θ ≤ π/2, pa u može poprimati vrijednosti iz intervala
0 ≤ u ≤ 1. U terminima u, gornja jednadžba postaje nelinearna diferencijalna jednadžba za
u(t)
˙u 2 = (1 − u 2 )(α − βu) − (γ − δu) 2 ≡ P 3 (u) (13.34)
gdje je P 3 (u) pokrata za polinom trećeg reda u varijabli u, a konstante α, β, γ i δ su
α = 2 (
E − I )
3 Ω 2
, β = 2 m g l , γ = L z
, δ = I 3
Ω .
I 1 2
I 1 I 1 I 1
Sve su gornje konstante zadane preko tri konstanata gibanja: Ω , E i L z , preko momenata
tromosti I 1,3 , mase m i položaja središta mase l.
Primjetimo da se pomoću gornjih konstanata, jednadžba (13.33) za ˙Φ može napisati kao
˙Φ (t) = γ − δ u(t)
1 − u 2 (t) , (13.35)