KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

350 POGLAVLJE 12. RAVNINSKO GIBANJE KRUTOG TIJELA
/
N∑
⃗r j ×
j=1
N∑
j=1
d ⃗p j
d t
⃗r j × m j
d ⃗v j
d t
= ⃗ F v,j +
=
N∑
i=1
⃗f i,j
N∑
⃗r j × F ⃗ v,j +
j=1
} {{ }
= M ⃗ SM
N∑
j=1
N∑
⃗r j × f ⃗ i,j , = M ⃗ SM .
i=1
} {{ }
= 0
Prvi zbroj na desnoj strani je zbroj momenata vanjskih sila na sve čestice krutog tijela, pa je
to ukupni moment vanjskih sila, a budući da se radij vektori računa u odnosu na središte mase,
oznaka ima indeks SM. Da je drugi član jednak nuli, pokazano je u (10.14). Na lijevoj strani
je
N∑
j=1
uz ⃗v j = ⃗ω × ⃗r j , dobiva se
⃗r j × m j
d ⃗v j
d t = d d t
d ⃗ L SM
d t
= d d t
N∑
⃗r j × m j ⃗v j −
j=1
} {{ }
= L ⃗ SM
N∑
⃗v j × m j ⃗v j ,
j=1
} {{ }
= 0
N∑
m j ⃗r j × (⃗ω × ⃗r j ) = M ⃗ SM .
j=1
Rastavimo radij vektor ⃗r j na dvije medusobno okomite komponente: ˆρ i ẑ komponente
Sada je
⃗r j = ˆρ r j, ⊥ + ẑ z j .
⃗ω × ⃗r j = ω ẑ × (ˆρ r j, ⊥ + ẑ z j ) = ω r j, ⊥ ˆϕ ,
⃗r j × (⃗ω × ⃗r j ) = ⃗r j × ω r j, ⊥ ˆϕ = (r j, ⊥ ˆρ + z j ẑ ) × ω r j, ⊥ ˆϕ = ω rj, 2 ⊥ ẑ − z j ω r j, ⊥ ˆρ .
Posljednji član (onaj u smjeru ˆρ ) u gornjem izrazu se poništava sa silama reakcije uredaja koji
održava os vrtnje fiksnom (slika 12.13), pa preostaje
⃗r j × (⃗ω × ⃗r j ) = ω r 2 j, ⊥ ẑ = ⃗ω r 2 j, ⊥.
Vratimo li se sada jednadžbi gibanja, dobiva se
gdje je ⃗ L SM = ⃗ω I SM .
d
d t ⃗ω
N
∑
j=1
m j r 2 j,⊥ = d d t ⃗ω I SM = d ⃗ L SM
d t
= ⃗ M SM ,
Načelo sačuvanja energije:
ako se kruto tijelo nalazi u polju samo konzervativnih sila, tada mu se može pridružiti potencijalna
energija E p , a kinetička energija se može napisati u obliku zbroja kinetičke energije
središta mase mvSM 2 /2 i kinetičke energije čestica u odnosu na središte mase ∑ 1 N
2 j=1 m jvj
2 (kao
što je to pokazano relacijom (10.29)). No, kao i u prethodnom paragrafu, brzina ⃗v j se može
napisati kao
⃗v j = ⃗ω × ⃗r j = ω ẑ × (ˆρ r j,⊥ + ẑ z j ) = ω r j,⊥ ˆϕ ,