KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

10.5. ENERGIJA SUSTAVA ČESTICA 269
želimo izračunati rad koji obave ove sile pri pomaku cijelog sustava iz početne konfiguracije
označene s
u konačnu konfiguraciju iznačenu s
poč = (⃗r 1,p , ⃗r 2,p , · · · , ⃗r N,p ),
kon = (⃗r 1,k , ⃗r 2,k , · · · , ⃗r N,k ).
Taj je rad jednak zbroju radova nad svakom pojedinom česticom
W poč,kon =
N∑
W j, poč,kon =
j=1
N∑
∫ kon
j=1 poč
⃗F j d⃗r j .
Povežimo ovaj rad s promjenom ukupne kinetičke energije sustava. Prema drugom Newtonovom
aksiomu je ˙⃗p j = ⃗ F j , iz čega slijedi (uz zanemarivanje relativističkih učinaka):
W poč,kon =
=
N∑
j=1
∫ kon
poč
⃗F j d⃗r j =
N∑
j=1
N∑
∫ kon
m j d⃗v j ⃗v j =
j=1
poč
∫ kon
N∑
j=1
poč
⃗v j
2
m j
2
d⃗p j
dt d⃗r j =
∣
kon
poč
=
N∑
j=1
N∑
j=1
∫ kon
d⃗v j
m j
poč dt d⃗r j
( 1
2 m j⃗v j,k 2 − 1 )
2 m j⃗v j,p
2
= E k (kon) − E k (poč). (10.17)
Ukupan obavljeni rad je, dakle, jednak razlici konačne i početne kinetičke energije cijelog sustava.
Konzervativne sile:
Pretpostavimo sada da su sve sile, i vanjske i unutarnje, koje djeluju na čestice sustava konzervativne.
Svaka konzervativna sila se može napisati kao negativni gradijent odgovarajuće
potencijalne energije. Tako ćemo vanjskim silama pridružiti vanjsku potencijalnu energiju Ep,
v
a unutarnjim silama, unutarnju potencijalnu energiju Ep u .
Rad unutarnjih sila:
Pogledajmo najprije unutarnje sile i njima pridruženu potencijalnu energiju. Preciznije, potencijalnu
energiju i-te čestice u odnosu na j-tu česticu, ćemo označiti s Ep,i,j. u Ta energija ovisi
samo o medusobnoj udaljenosti dvije promatrane čestice r i,j
√
r i,j = r j,i = (x i − x j ) 2 + (y i − y j ) 2 + (z i − z j ) 2 (10.18)
i zato je simetrična
E u p,i,j(r i,j ) = E u p,j,i(r j,i ).
Zbog ovog svojstva možemo izostavljati indekse i, j i jednostavno pisati E u p (r i,j ). Primjetimo
da E u p (r i,j ) ovisi o šest koordinata
E u p (r i,j ) = E u p (x i , y i , z i , x j , y j z j ),