KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

322 POGLAVLJE 11. MALI TITRAJI SUSTAVA ČESTICA
Uz gornji rezultat, potencijalna energija je
E p = π2 F nap
∞∑
(
n 2 a n cos nπv ft
4L
L
+ b n sin nπv ) 2
ft
. (11.32)
L
n=1
Vidimo da kao i kinetička energija, ni sama potencijalna energija nije konstantna u vremenu,
nego se mjenja u skladu s gornjim izrazom.
Ukupna mehanička energija:
Ukupna mehanička energija je zbroj kinetičke i potencijalne energije, što je prema (11.31) i
(11.32) jednako
E = E k + E p
= π2 F nap
4L
= π2 F nap
4L
∞∑
(
n 2 a 2 n sin 2 nπv ft
✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭
L
− 2a n b n sin nπv ft
cos nπv ft
L L
+ a 2 n cos 2 nπv ft
L ✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭✭
+ 2a n b n sin nπv ft
cos nπv ft
L L
∞∑
)
n
(a 2 2 n + b 2 n .
n=1
n=1
+ b2 n cos 2 nπv ft
L
+ b2 n sin 2 nπv ft
L
Za razliku od kinetičke i potencijalne energije, ukupna energija ne ovisi o vremenu, tj. ona
je konstantna ili sačuvana. Dobili smo još jedan primjer sačuvanja energije 7 . Primjetimo
takoder da je energija zadana koeficijentima a n i b n koji se, relacijama (11.21) i (11.22), odreduju
iz početnih uvjeta. To znači da je energija jednaka onom iznosu koji je u početku gibanja vanjska
sila, putem rada obavljenog nad niti, predala toj istoj niti.
11.3 Titranje pravokutne membrane
Promotrimo sada jedan dvodimenzijski primjer titranja. Neka se savršeno tanka napeta elastična
membrana nalazi u ravnini (x, y), sa rubovima u x = 0, x = L x , y = 0 i y = L y , kao što
je to prikazano na slici 11.6. Promotrimo mali pravokutni dio te membrane duljine bridova dx
i dy. Zbog napetosti membrane, ostali djelovi djeluju silom napetosti na promatrani dio (slika
11.6) Ukupna sila na jedan od bridova promatranog dijela, npr. na brid AB duž y smjera, se
može napisati u obliku
⃗F nap,y =
∫ B
A
⃗F y dy = ⃗ F y dy,
gdje je ⃗ F y vektor napetosti (dimenzije sile po jedinici duljine) membrane u y smjeru (općenito je
F x ≠ F y ). Kada je membrana u ravnoteži, ovaj je vektor istog iznosa u svakoj točki membrane
(kada ne bi bilo tako, pojedini bi se dijelovi membrane gibali sve dok se ravnoteža ne uspostavi).
)
Pretpostavimo sada da neka vanjska sila trenutno deformira membranu na način prikazan na
slici 11.7, nakon čega vanjska sila više ne djeluje. Od tog trenutka, na promatrani dio membrane
djeluje samo gravitacijska sila i sila napetosti kojom susjedni djelovi membrane, djeluju na
7 Zanemariši sva trenja, iz razmatranja smo izbacili medudjelovanje s okolinom i zato energija mora ostati sačuvana; ne postoji
mehanizam izmjene energije s okolonom.