KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

11.2. MALI TRANSVERZALNI TITRAJI KONTINUIRANOG JEDNODIMENZIJSKOG SUSTAVA ČESTICA 311
Iz ovih je izraza lako pročitati ukupno rješenje za ψ
ψ(x, t) = L(x + ct) + D(x − ct)
∫ x+ct
= 1 2 f 0(x + ct) + 1 2c
0
∫ x−ct
g 0 (η)dη + 1 2 a 0
+ 1 2 f 0(x − ct) − 1 2c
= 1 2 [f 0(x + ct) + f 0 (x − ct)] + 1 2c
0
g 0 (η)dη − 1 2 a 0
∫ x+ct
x−ct
g 0 (η)dη.
Tako smo došli do rješenja koje zadovoljava početne uvjete na položaj i brzinu
ψ(x, t) = 1 2 [f 0(x + ct) + f 0 (x − ct)] + 1 2c
∫ x+ct
x−ct
g 0 (η)dη. (11.23)
Pogledajmo sada rubne uvjete: na rubu intervala [0, L] je otklon niti jednak nuli ψ(x = 0, t) =
ψ(x = L, t) = 0 u svakom trenutku t.
ψ(x = 0, t) = L(0 + ct) + D(0 − ct) = 0 ⇒ L(ct) = −D(−ct),
ψ(x = L, t) = L(L + ct) + D(L − ct) = 0 ⇒ L(L + ct) = −D(L − ct).
Pokažimo da su L i D periodične funkcije s periodom 2L. Označimo s = ct, tako da rubne
uvjete možemo napisati u obliku
L(s) = −D(−s),
L(L + s) = −D(L − s),
za s iz intervala 0 < s < L. Prije dokaza periodičnosti, pokažimo najprije da se funkcije L i D
mogu produljiti izvan intervala [0, L]. Za s ∈ [0, L], argument od L(L+s) iz jednadžbe (11.24),
poprima vrijednosti iz [L, 2L], dok funkcija na desnoj strani D(L − s) poprima vrijednosti iz
intervala [0, L]. Time je L produljena na interval [0, 2L]. Sličan se postupak može provesti i
dalje na lijevu i desnu stranu intervala [0, L] za funkciju L i za D.
Dokažimo sada i periodičnost funkcija L i D. Izvedimo zamjenu s → s + L u jednadžbu (11.24)
L(L + s + L) = −D(L − s − L) = −D(−s),
no, prema jednadžbi (11.24), je upravo −D(−s) = L(s), pa smo tako pokazali periodičnost L
s periodom 2L
L(s + 2L) = L(s).
Na sličan način, zamjenom s → s − L u jednadžbi (11.24), dolazi se do
D(L − s + L) = −L(L + s − L) = −L(s) = D(−s),
D(2L − s) = D(−s),
pri čemu smo u posljednjem koraku koristili i jednadžbu (11.24).
Pogledajmo sada što možemo zaključiti o funkcijama f 0 (x) i g 0 (x) koje odreduju početno (t = 0)
stanje niti. Iz početnih uvjeta je
f 0 (x) = L(x) + D(x),
g 0 (x) = c[L(x) ′ − D(x) ′ ].