KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

10.6. GIBANJE SUSTAVA ČESTICA U ODNOSU NA SREDIŠTE MASE 273
Slika 10.5: Veza nepomičnog i sustava vezanog uz središte mase.
Sa slike se vidi veza položaja j-te čestice u crtkanom ⃗r ′
j i necrtkanom sustavu ⃗r j
⃗r j = ⃗r SM + ⃗r ′
j
/ d
d t
⇒ ⃗v j = ⃗r SM + ⃗v ′
j. (10.22)
Prema definiciji položaja središta mase u necrtkanom i crtkanom sustavu je
⃗r SM = 1 m
⃗r ′
SM = 1 m
Zbog veze ⃗r j = ⃗r SM + ⃗r ′
j , za ⃗r SM možemo pisati
⃗r SM = 1 m
N∑
m j ⃗r j = 1 m
j=1
N∑
j=1
No, ∑ N
j=1 m j = m, tako da se dobiva
⃗r SM = ⃗r SM + 1 m
Iz gornje jednadžbe zaključujemo da je
N∑
m j ⃗r j ,
j=1
N∑
j=1
m j ⃗r ′
j .
m j (⃗r SM + ⃗r ′
j ) = ⃗r SM
m
N∑
j=1
⃗r ′
SM = 1 m
N∑
m j + 1 m
j=1
m j ⃗r ′
j = ⃗r SM + ⃗r ′
SM.
N∑
j=1
N∑
j=1
m j ⃗r ′
j .
m j ⃗r ′
j = 0. (10.23)
Dakle, zbroj umnožaka mase i radij vektora svih čestica sustava, računat u odnosu na koordinatni
sustav sa ishodištem u središtu mase, jednak je nuli. To je i razlog zašto se središte mase