KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

7.3. DIVERGENCIJA I ROTACIJA GRAVITACIJSKOG POLJA 187
Primjer: 7.4 Koristeći jednadžbu (7.33), izračunajte gravitacijsko polje šuplje kugle jednolike
gustoće (to smo već izračunali na drugi način - izravnom integracijom - u odjeljku
7.2).
R: Zbog sferne simetrije odabiremo sferni koordinatni sustav s koordinatama
(r, θ, ϕ) i s ishodištem u središtu kugle. Isto tako zbog sferne simetrije je jasno
da polje ne može ovisiti o kutovima θ i ϕ, nego samo o odaljenosti r i da mora biti
usmjereno samo u ˆr smjeru
⃗g (⃗r) = g(r) ˆr . (7.34)
IN: izračunajmo najprije polje u šupljini kugle na udaljenosti r od ishodišta. Da
bismo to izveli, za plohu integracije, u izrazu (7.33), uzimamo sferu polumjera r <
R u , tako da je dS ⃗ = ˆr r 2 dΩ, pa je lijeva strana (7.33) jednaka
∮
∫
⃗g IN dS ⃗ = g IN (r) ˆr ˆr r 2 dΩ = g IN (r) r 2 4 π.
S
Ω
Na desnoj strani (7.33) se pojavljuje m S , masa obuhva”ena plohom integracije. No
ploha integracije (sfera polumjera r < R u ) se u cjelosti nalazi unutar šupljine, pa
zato ne obuhvaća nikakvu masu, tj. m S = 0 i Gaussov zakon u šupljini kugle glasi
g IN (r) r 2 4 π = 0,
tj. ⃗g IN = 0, kao što smo dobili i ranije u (7.21).
INTER: izračunajmo sada polje na udaljenosti r od ishodišta, gdje je R u ≤ r ≤ R v .
Za plohu integracije opet odabiremo sferu polumjera R u ≤ r ≤ R v sa središtem u
ishodištu. Lijeva strana (7.33) je opet jednaka
∮
∫
⃗g INT ER dS ⃗ = g INT ER (r) ˆr ˆr r 2 dΩ = g INT ER (r) r 2 4 π,
S
Ω
no masa obuhvaćena plohom integracije je sada jednaka onome što smo gore označavali
sa m INT ER (r) ≡ m S = ρ 0 [(4 π/3) r 3 − (4 π/3) R 3 u], pa Gaussov zakon
daje
g INT ER (r) r 2 4 π = −4 π G m INT ER (r) ⇒ ⃗g INT ER (r) = −G m INT ER (r) ˆr r 2 ,
baš kao i u (7.22).
OUT: da bismo izračunali polje izvan kugle, za plohu integracije opet odabiremo
koncentričnu sferu, ali je ona sada polumjera r > R v . Kao i u dva prethodna slučaja,
lijeva strana (7.33) je opet jednaka g OUT (r) r 2 4 π. Masa obuhvaćena plohom integracije,
koja se sada pojavljuje na desnoj strani (7.33), je upravo cijela masa šuplje
kugle M, pa Gaussov zakon glasi
g OUT (r) r 2 4 π = −4 π G M =⇒ ⃗g OUT (r) = −G M ˆr r 2 ,
što je isto kao i u (7.24): polje ima oblik polja čestice.