KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

66 POGLAVLJE 2.
MATEMATIČKI UVOD - ELEMENTI VEKTORSKOG RAČUNA
No, s druge strane iz zbroja (2.98) možemo izdvojiti i ∑ 3
i=1 a k i a ′ i j, što je prema (2.96) jednako
δ j k , tako da (2.98) postaje
3∑
a k l δ j k = a j l . (2.100)
k=1
Relacije (2.99) i (2.100) su samo dva različita zapisa istog izraza (2.98), pa moraju biti i
medusobno jednake
(
a ′ l j = a j l ⇔
) A
−1 = (A) l j j l . (2.101)
To je traženi izraz za matrične elemente inverzne matrice: oni se dobiju jednostavnom zamjenom
redaka i stupaca u matrici transformacije A. Ova se operacija zove transponiranje, a matrica
se zove transponirana matrica s oznakom A T
(
A
T ) i j = (A) j i .
Inverz ortogonalne matrice je transponirana matrica
A −1 = A T , ⇒ A A T = A T A = 1.
Iz samog izvoda vidimo da su gornje relacije ekvivalentne s (2.92). Determinantu matrice
A ćemo označavati s |A|. Budući da je determinanta umnoška matrica jednaka umnošku
determinanata pojedinih matrica, to iz gornje relacije slijedi
|A T | · |A| = 1 ⇒ |A T | = 1
|A| .
Pojam transponirane matrice se koristi i kod množenja matrice i vektora. Ako je vektor desno
od matrice, shvaćamo ga kao jednostupčanu matricu i pišemo
A ⃗ V
⇔
3∑
j=1
a i j V j . (2.102)
Ako vektor množi matricu s lijeve strane, shvaćamo ga kao matricu s jednim redom
⃗V A
⇔
3∑
j=1
V j a j i ,
a ako s lijeva množi transponiranu matricu
⃗V A T
⇔
3∑
j=1
V j (a T ) j i =
3∑
j=1
V j a i j . (2.103)
Usporedbom (2.102) i (2.103) vidimo da je
⃗V A T = A V ⃗ .
Ako je kvadratna matrica jednaka svojoj transponiranoj matrici
A = A T ⇒ a i j = (a T ) i j = a j i ,