KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

15.3. KANONSKA PREOBRAZBA 419
No, F i G su funkcije starih koordinata q s i p s , pa je
∂ F
S∑
( ∂ F ∂ q s ′
=
+ ∂ F )
∂ p s ′ ∂ G
S∑
( ∂ G
, =
∂ Q s ∂ q
s ′ s ′ ∂ Q s ∂ p s ′ ∂ Q s ∂ Q s ∂ q
=1
s ′ s ′
=1
∂ F
S∑
( ∂ F ∂ q s ′
=
+ ∂ F )
∂ p s ′ ∂ G
S∑
( ∂ G
, =
∂ P s ∂ q s ′ ∂ P s ∂ p s ′ ∂ P s ∂ P s ∂ q s ′
s ′ =1
Nakon uvrštavanja gornjih izraza u {F, G} Q,P i kraćeg sredivanja, dobije se
{F, G} Q,P =
S∑
S∑
s ′ =1 s ′′ =1
[ ∂ F
∂ q s ′
+ ∂ F
∂ p s ′
∂ G
∂ q s ′′
∂ G
∂ q s ′′
Ukoliko su zadovoljene slijedeće relacije:
s ′ =1
{q s ′, q s ′′} Q,P + ∂ F
∂ q s ′
{p s ′, q s ′′} Q,P + ∂ F
∂ p s ′
∂ q s ′
+ ∂ G )
∂ p s ′
,
∂ Q s ∂ p s ′ ∂ Q s
∂ q s ′
+ ∂ G )
∂ p s ′
.
∂ P s ∂ p s ′ ∂ P s
∂ G
{q s ′, p s ′′} Q,P
∂ p s ′′
]
∂ G
{p s ′, p s ′′} Q,P .
∂ p s ′′
{q s , q s ′} Q,P = 0, {p s , p s ′} Q,P = 0, {q s , p s ′} Q,P = δ s,s ′, (15.13)
tada su Poissonove zagrade funkcija F i G iste i u starim i u novim varijablama
{F, G} q,p = {F, G} Q,P . (15.14)
Izračunajmo sada vremensku promjenu q s . Budući da je q s = q s (Q s ′, P s ′) (bez eksplicitne
ovisnosti o vremenu), to je vremenska promjena q s dana s
d q s
d t =
S∑
s ′ =1
( ∂ qs
˙Q s ′ + ∂ q s
˙
∂ Q s ′ ∂ Q s ′
P s ′
)
. (15.15)
S druge strane, tu istu vremensku promjenu možemo, kao u (15.11), napisati i preko Poissonovih
zagrada u starim koordinatama
Zbog relacije (15.14), je
d q s
d t = {q s, H(q s ′, p s ′)} q,p .
pa je
{q s , H(q s ′, p s ′)} q,p = {q s , ˜H(Q s ′, P s ′)} Q,P ,
d q s
d t = {q s, ˜H(Q s ′, P s ′)} Q,P =
S∑
s ′ =1
(
∂ q s
∂ Q s ′
∂ ˜H
∂ P s ′
− ∂ ˜H
∂ Q s ′
Usporedbom gornje relacije s (15.15), dolazi se do zaključka da je
∂ q s
∂ P s ′
)
.
˙Q s = ∂ ˜H
∂ P s
= {Q s , ˜H},
˙ P s = − ∂ ˜H
∂ Q s
= {P s , ˜H}. (15.16)