KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

10.10. SUDARI ČESTICA 289
Pomoću ove tri brzine: v 1,x , v ′ 1,x i v ′ 2,x, dobivamo koeficijent restitucije
ɛ = m 1 + m 2
m 1
sin(β/2)
sin(α/2) − 1.
10.10.1 Centralni sudar
Neka se prije sudara čestica mase m 1 giba brzinom ⃗v 1 , a čestica mase m 2 brzinom ⃗v 2 . Izračunajmo
njihove brzine ⃗v 1 ′ i ⃗v 2 ′ nakon sudara (slika 10.9). Budući da na čestice ne djeluju
vanjske sile u smjeru gibanja (gravitacija djeluje u okomitom smjeru, pa zbog zanemarivanja
trenja ne utječe na gibanje), bit će ukupna količina gibanja sustava konstantna (strana 266),
tj. ista prije i poslije sudara:
m 1 ⃗v 1 + m 2 ⃗v 2 = m 1 ⃗v ′ 1 + m 2 ⃗v ′ 2.
Za nalaženje dvije nepoznanice, ⃗v ′ 1 i ⃗v ′ 2, trebaju nam i dvije jednadžbe. Jednu već imamo, to
je gornja jednadžba sačuvanja ukupne količine gibanja sustava (iako je napisana u vektorskim
simbolima, ta jednadžba ima samo jednu - x - komponentu jer se gibanje sve vrijeme - i prije
i poslije sudara - odvija po istom pravcu, tj. po osi x), a za drugu ne možemo uzeti zakon
o sačuvanju mehaničke energije, jer želimo opisivati i neelastične sudare u kojima mehanička
energija nije sačuvana. Kao druga jednadžba, poslužit će nam Newtonovo pravilo za sudare
(primjetimo da su preznaci brzina odabrani tako da je ɛ ≥ 0):
⃗v ′ 2 − ⃗v ′ 1 = ɛ (⃗v 1 − ⃗v 2 ).
Sada imamo dvije linearne algebarske jednadžbe iz kojih elementarnim putem dolazimo do
brzina čestica poslije sudara:
⃗v ′ 1 = (m 1 − ɛ m 2 ) ⃗v 1 + m 2 (1 + ɛ) ⃗v 2
m 1 + m 2
, (10.39)
⃗v ′ 2 = m 1 (1 + ɛ) ⃗v 1 + (m 2 − ɛ m 1 ) ⃗v 2
m 1 + m 2
.
Primjetimo da je brzina središta mase prije sudara
ista kao i brzina središta mase poslije sudara
⃗v SM = m 1 ⃗v 1 + m 2 ⃗v 2
m 1 + m 2
,
⃗v SM ′ = m 1 ⃗v 1 ′ + m 2 ⃗v 2
′
m 1 + m
[ 2
]
1 (m 1 − ɛm 2 )⃗v 1 + m 2 (1 + ɛ)⃗v 2 m 1 (1 + ɛ)⃗v 1 + (m 2 − ɛm 1 )⃗v 2
=
m 1 + m 2
m 1 + m 2 m 1 + m 2 m 1 + m 2
1
=
(m 1 + m 2 ) [m 1(m 2 1 + m 2 )⃗v 1 + m 2 (m 1 + m 2 )⃗v 2 ] = m 1 ⃗v 1 + m 2 ⃗v 2
m 1 + m 2
= ⃗v SM .
Brzinu središta mase mogu promijeniti samo vanjske sile (strana 266), a one su jednake nuli u
smjeru gibanja čestica, pa je zato brzina središta mase cijelog sustava konstantna.