KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

6.6. APSORPCIJA SNAGE VANJSKE SILE 151
Sačuvanje energije:
Na kraju još jedna mala provjera cijelog računa. Upravo smo ustanovili da, uslijed rada vanjske
sile, postoji tok energije u sustav (harmonijski oscilator). Budući da smo sve smo vrijeme
radili sa stacionarnim rješenjem (6.31), zaključujemo da istovremeno mora postojati i tok
energije iz sustava koji je po iznosu jednak toku energije u sustav. U suprotonom, stacionarno
stanje se ne bi moglo ostvariti. Jasno je da se tok energije iz sustava u okolinu odvija mehanizmom
prigušenja (medudjelovanja harmonijskog oscilatora sa česticama okoline). Ovaj gubitak
energije smo već izračunali u (6.22), i on je jednak
P prig = d E meh
d t
= −β ẋ 2 = −2 m γ ẋ 2 .
Uvrsti li se za ẋ brzina dobivena iz stacionarnog rješenja (6.31) i izvede li se vremensko usrednjenje
po jednom periodu, nakon kraćeg računa dolazi se do
(
)
〈 P prig 〉 = −2 γ m ω 2 A 2 (ω) cos 2 Φ〈 sin 2 ωt 〉 + sin 2 Φ〈 cos 2 ωt 〉 − 2 sin Φ cos Φ 〈sin ωt cos ωt〉
= −γ m ω 2 A 2 (ω),
gdje smo za izračunavanje vremenskih srednjih vrijednosti koristili (6.43). Uvrštavanjem amplitude
iz (6.33), dobije se brzina gubitka energije kao
〈 P prig 〉 = − γ F 2 0
m
ω 2
4γ 2 ω 2 + (ω 2 0 − ω 2 ) 2 . (6.46)
Usporedimo li gornji izraz sa (6.44), vidimo da je ukupna bilanca energije
ili
〈 P prig 〉 + 〈P v 〉 = 0,
| 〈 P prig 〉 | = 〈P v 〉.
Ostvaren je stacionarni protok energije: koliko energije posredstvom vanjske sile ude u sustav
(harmonijski oscilator), toliko i izade procesom prigušenja.
6.6.1 Neperiodična vanjska sila
Do sada smo govorili o harmonijskom oscilatoru na koji djeluje periodična vanjska sila. Pogledajmo
sada što se može reći o rješenju jednadžbe gibanja oscilatora, ako vanjska sila nije
nužno periodična?
Radi jednostavnosti, izostavit ćemo učinke prigušenja i promatrati gibanje čestice pod djelovanjem
samo elastične sile i vanjske sile F v (t). Jednadžba gibanja je
m ẍ + K x = F v (t),
a početni uvjeti neka su: x(0) = x 0 , ẋ (0) = v 0 . Opće rješenje gornje jednadžbe je zbroj
homogenog i partikularnog rješenja x = x H + x P . Homogeno rješenje je oblika
gdje su C H i S H konstante, a ω 0 = √ K/m.
x H = C H cos ω 0 t + S H sin ω 0 t,