KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

220 POGLAVLJE 7. GRAVITACIJA I CENTRALNE SILE
što znači da je
〈 E k 〉 = − 1 2 〈 ⃗r · ⃗F 〉. (7.66)
Gornji se izraz zove virijalni teorem, a sama veličina
−〈 ⃗r · ⃗F 〉/2
se zove virijal jedne čestice.
kinetičke energije jednaka virijalu.
Virijalni teorem kaže da je vremenska srednja vrijednost
Prmjenimo virijalni teorem na gibanje čestice u polju centralne sile: ⃗r = ⃗ρ
Iz gornjih jednadžba slijedi
Prema virijalnom teoremu je
Specijalno, u polju gravitacijske sile je
⃗F = f(ρ)ˆρ ,
⃗F = − −→ ∇E p = − d E p
d ρ ˆρ .
⃗ρ ⃗ F = −ρˆρ d E p
d ρ ˆρ = −ρd E p
d ρ .
〈 E k 〉 = − 1 2 〈 ⃗ρ · ⃗F 〉 = 1 2
〈
ρ d E p
d ρ
〉
.
E p = −G mM ρ , ⇒ d E p
d ρ = G mM
ρ 2 ,
ρ d E p
= G mM = −E p ,
d ρ ρ
〈 E k 〉 = 1 〈
ρ d E 〉
p
= − 1 2 d ρ 2 〈 E p 〉.
Sada je vremenska srednja vrijednost ukupne mehaničke energije jednaka
〈 E 〉 = 〈 E k 〉 + 〈 E p 〉 = − 1 2 〈 E p 〉 + 〈 E p 〉 = 1 2 〈 E p 〉,
tj. gravitacijsku silu (i općenito za privlačnu centralnu silu koja opada s kvadratom udaljenosti)
je
〈 E 〉 = 1 2 〈 E p 〉.
Gornji je izraz u skladu s (7.64): E elp = −K/(2a).