KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

7.2. GRAVITACIJSKO PRIVLAČENJE OKRUGLIH TIJELA 183
OUT: neka se sada čestica nalazi izvan kugle, r > R v ≥ r ′ , pa je i |r − r ′ | = r − r ′
V OUT (r) = − G ρ 0
2 π
r
∫ Rv
R u
r ′ dr ′ (r ′ + r + r ′ − r)
= − G ρ 0
4 π
3 (R3 v − R 3 u) 1 r = −G M r , (7.27)
a to je isti potencijal kao da umjesto šuplje kugle mase M, u ishodištu imamo česticu iste mase.
Pokažimo još i da se iz ovih potencijala, dobivaju ranije izračunati izrazi za sile. Sila i potencijal
su vezani operacijom gradijenta, koja je u pravokutnom koordinatnom sustavu, oblika
⃗F = − −→ ∇E p = −m −→ ∇V = −m
(
ˆx
∂
∂ x + ŷ
∂
∂ y + ẑ
∂
∂ z
)
V.
IN: unutar šupljine je potencijal konstantan, (7.25), pa je sukladno gornjem izrazu derivacija
konstante jednaka nuli i sila u šupljini je jednaka nuli, F ⃗ G IN = 0, baš kao i u (7.21).
INTER: Potencijal V INT ER je dan izrazom (7.26). Izračunajmo najprije samo x komponente
sile u prostoru izmedu R u u R v :
(
INT ER
FG x = G 2 π ρ o m ∂ Rv 2 − x2 + y 2 + z 2
−
∂x
3
= G m 4 π
3 ρ 0
(
−x + R3 u
r 3 x )
i slično za y i z komponentu sile. Sve zajedno, za F ⃗ INT ER
G
dobivamo, baš kao i u (7.22)
gdje smo prepoznali
INT ER ⃗F G = −G m 4 π
3 ρ 0
= ˆx F
)
2 Ru
3
3 √ x 2 + y 2 + z 2
INT ER
G x
+ŷ F
(
⃗r − R3 u
r 3 ⃗r )
= −G m m INT ER (r) ˆr r 3 ,
m INT ER (r) = 4 π
3 ρ 0 (r 3 − R 3 u).
INT ER
G y
INT ER
+ẑ FG z ,
OUT: Izvan kugle je potencijal dan sa (7.27). Ponovo je dovoljno izračunati samo jednu, npr.
x, komponentu sile
F OUT
G x = G m M ∂
∂x
1
√
x2 + y 2 + z 2 = −G m M x r 3
i slično za preostale dvije komponente. Sve zajedno, F ⃗ OUT
G
dobivamo kao i u (7.24)
= ˆx F OUT
G x
+ ŷ F OUT
G y
+ ẑ F OUT
G z ,
⃗F OUT
G = −G m M ⃗r r 3 .
O tome kako izgleda gravitacijski potencijal koji potječe od nesfernih objekata (kao što su
npr. dvojne zvijezde, spiralne ili eliptičke galaksije), bit će više riječi u odjeljku o multipolnom
razvoju potencijala.