KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

10.8. LAGRANGEOVO I D’ALEMBERTOVO NAČELO 277
Slična se relacija dobije i za moment vanjskih sila, uz ⃗ M v = d ⃗ L /dt,
∫ tkon
t poč
⃗ Mv dt =
∫ tkon
t poč
d ⃗ L
dt dt = ∫ tkon
t poč
d ⃗ L = ⃗ L kon − ⃗ L poč .
10.8 Lagrangeovo i D’Alembertovo načelo
Kao što prvi Newtonov aksiom opisuje što se dogada s česticom kada na nju ne djeluju sile
(tj. kada je zbroj sila jednak nuli), a drugi aksiom opisuje gibanje čestice pod djelovanjem sila,
tako i Lagrangeovo i D’Alembertovo načelo opisuju to isto, ali za sustav čestica: Lagrangeovo
načelo daje uvjete kada sustav čestica miruje (statika), a D’Alembertovo načelo daje uvjete
pod kojima se sustav čestica giba (dinamika).
uvjeti:
U konkretnim je slučajevima često gibanje čestice ili sustava čestica podvrgnuto različitim
vrstama ograničenja (uvjeta na gibanje). Ovi uvjeti potječu od različitih sila koje djeluju na
čestice i mogu se podijeliti u dvije skupine: uvjeti (ograničenja) koja dolaze od veza medu
česticama sustava (koje potječu od sila medudjelovanja čestica sustava) i uvjeti koji dolaze
od vanjskih sila. Opis ovih sila može biti jako složen i nepraktičan i zato ih je u nekim
situacijama zgodnije izraziti kroz uvjete na gibanje. Od konkretnog problema ovisi koje ćemo
sile tretirati kroz uvjete, a koje ćemo shvatiti kao (prave) aktivne sile. Nekoliko primjera u
ovom odjeljku će razjasniti ove pojmove. Kao primjer veze medu česticama može poslužiti
sustav koji se sastoji od dvije čestice vezane krutim štapom zanemarive mase i duljine d (slika
10.6.A). Položaji čestica nisu nezavisni nego su povezani relacijom |⃗r 1 − ⃗r 2 | = d = const.
Ako je čestica ograničena (vanjskim silama) na gibanje po kružnici polumjera R u ravnini (x, y)
(slika 10.6.B), onda je, umjesto traženja eksplicitnog oblika sile koji uzrokuje to ograničenje,
jednostavnije djelovanje te vanjske sile opisati jednim uvjetom na gibanje . U ovom
jednostavnom primjeru, to je zahtjev da koordinate čestice zadovoljavaju jednadžbu kružnice
x 2 + y 2 − R 2 = 0. U ovom primjeru djelovanje vanjske gravitacijske sile neće biti opisano
uvjetom na gibanje, nego će se u jednadžbi gibanja pojaviti eksplicitno kao m ⃗g .
U oba primjera, dakle, rješavamo jednadžbu gibanja, ali zahtjevamo da rješenja osim te jednadžbe
zadovoljavaju još i odredene uvjete (slično kao što smo u nekim primjerima - npr.
kod harmonijskog oscilatora - zahtijevali da rješenja zadovoljavaju odredene početne ili rubne
uvjete).
Ravnoteža:
Potražimo uvjet ravnoteže sustava čestica. U fiksnom vremenskom trenutku, promatrajmo dvije
moguće bliske konfiguracije sustava od N čestica, koje su u skladu sa silama i uvjetima kojima su
podvrgnute čestice. Ako se prijelaz iz jedne u drugu konfiguraciju, ostvaruje trenutnom (dt =
0) promjenom položaja j-te čestice za δ⃗r j , tada pomak δ⃗r j nazivamo virtualni (ili zamišljeni)