KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

4.3. KONZERVATIVNE SILE I POTENCIJALNA ENERGIJA 91
No, ono što vrijedi za z P , vrijedi za svaki drugi z, pa iz gornjeg izraza slijedi
∂E p (x, y, z)
∂y
= −F y (x, y, z). (4.16)
Ako se sada (4.14) parcijalno derivira još i po x, dobiva se
∂E p (x, y, z)
∂x
= −F x (x, y P , z P ) −
∫ y
Za F z i F y se uvrsti (4.15) i (4.16), pa slijedi
∂ F y (x, η, z P )
y P
∂x
d η −
∫ z
∂ F z (x, y, η)
z P
∂x
d η. (4.17)
∂E p (x, y, z)
∂x
= −F x (x, y P , z P ) +
∫ y
y P
∂ ∂E p (x, η, z P )
∂x ∂η
d η +
∫ z
z P
∂ ∂E p (x, y, η)
∂x ∂η
d η
= −F x (x, y P , z P ) +
∫ y
y P
∂
∂η
[ ]
∂Ep (x, η, z P )
∂x
d η +
∫ z
z P
∂
∂η
[ ]
∂Ep (x, y, η)
∂x
d η
= −F x (x, y P , z P ) + ∂E p(x, y, z P )
∂x
− ∂E p(x, y P , z P )
∂x
+ ∂E p(x, y, z)
∂x
− ∂E p(x, y, z P )
∂x
⇒ ∂E p(x, y P , z P )
∂x
= −F y (x, y P , z P ).
Ono što vrijedi za y P i z P , vrijedi za svaki drugi y i z, pa je
∂E p (x, y, z)
∂x
= −F x (x, y, z). (4.18)
Relacijama (4.15), (4.16) i (4.18) je pokazano da iz pretpostavke o neovisnosti integrala o
putanji slijedi ⃗ F = − −→ ∇E p .
( ⃗ F = − −→ ∇E p ) ⇒ ( ∮ ⃗ F · d⃗r = 0)
Pretpostavimo da vrijedi (4.11) i pokažimo da je tada zadovoljena relacija (4.10). Podsjetimo
se najprije kako izgleda diferencijal funkcije tri varijable
P
∫ P
dE p (x, y, z) = ∂ E p
∂x dx + ∂ E p
∂y dy + ∂ E p
∂z dz.
Izračunajmo rad sile oblika (4.11) od točke P do točke K duž proizvoljne putanje
∫ K
∫ K
(
W P,K = ⃗F · d⃗r = − ˆx ∂E p
∂x + ŷ ∂E p
∂y + ẑ ∂E p
∂z
=
=
K
∫ P
K
P
( ∂Ep
∂x dx + ∂E p
∂y dy + ∂E p
∂z dz )
)
(ˆx dx + ŷ dy + ẑ dz)
dE p = E p (x P , y p , z P ) − E p (x K , y K , z K ). (4.19)