KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

64 POGLAVLJE 2.
MATEMATIČKI UVOD - ELEMENTI VEKTORSKOG RAČUNA
Uvrštavanjem prve u drugu od gornjih relacija, dobiva se
3∑ 3∑
V i ′ ′ = a i k b k j V j
Gdje smo označili
c i j =
=
=
3∑
k=1
k=1
3∑
j=1
3∑
j=1
( 3∑
k=1
j=1
c i j V j ,
a i k b k j
)
V j
a i k b k j ⇔ C = A B. (2.94)
Pokažimo da je i C ortogonalna transformacija. To je ujedno i osnovno svojstvo grupe: rezultat
množenja (ili neke druge binarne operacije) dva elementa grupe daje neki treći element grupe.
Ako je C ortogonalna transformacija, tada za nju mora vrijediti (2.92)
3∑
c i j c i k = δ j k .
i=1
Da bi se to pokazalo, treba naprosto iz (2.94) izraziti c-ove preko a-ova i b-ova, a zatim koristiti
činjenicu (2.92) da A i B jesu ortogonalne transformacije
(
3∑
3∑ 3∑
) ( 3∑
)
c i j c i k =
a i l b l j a i p b p k
i=1
i=1 l=1
p=1
(
3∑ 3∑ 3∑
)
3∑ 3∑
3∑
=
a i l a i p b l j b p k = δ l p b l j b p k = b l j b l k
l=1 p=1 i=1
l=1 p=1
l=1
} {{ }
= δ l p
= δ j k .
• Ortogonalna transformacija općenito nije komutativna
• ali jeste asocijativna
dokaz čega prepuštamo čitatelju.
• Zbrajanje
A B ≠ B A,
(A B) C = A (B C),
C = A + B ⇒ c i j = a i j + b i j .
• Inverznu transformaciju od A ćemo označavati s A −1 , pri čemu je
⃗V ′ = A V ⃗ 3∑
⇔ V k ′ = a k i V i , (2.95)
⃗V = A −1 ⃗ V
′
⇔ V i =
i=1
3∑
j=1
a ′ i j V ′
j ,