KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

11.2. MALI TRANSVERZALNI TITRAJI KONTINUIRANOG JEDNODIMENZIJSKOG SUSTAVA ČESTICA 321
Vidimo da sama kinetička energija nije konstantna u vremenu, nego se mjenja u skladu s
gornjim izrazom.
Potencijalna energija:
Potencijalna energija potječe od sile napetosti niti. Za tu smo silu, relacija (11.11), pokazali da
je približno konstantna na dijelu niti d x. Uslijed deformacije niti kod titranja, taj se dio niti
rastegne sa duljine d x na duljinu d s, a rad sile F nap potreban da se obavi ta deformacija, je
jednak promjeni potencijalne energije
Sa slike 11.4 se vidi da je
d s = √ (d x) 2 + (d ψ) 2 = d x
∆ W = F nap
(
d s − d x
)
= d Ep .
√
1 +
( ) 2 ∂ ψ
= d x
∂ x
{
1 + 1 2
( ) 2 ∂ ψ
+ O
∂ x
[ (∂ ) ]} 4 ψ
.
∂ x
Zadržimo li se samo na vodećem 6 članu razvoja, potencijalna energija pridružena dijelu niti je
d E p ≃ F ( ) 2
nap ∂ ψ
d x.
2 ∂ x
Zbog aditivnosti energije, potencijalna energija cijele niti je zbroj (tj. integral) potencijalnih
energija svih djelova niti
E p = F ∫ L
( ) 2
nap ∂ ψ
d x.
2 ∂ x
Uvrštavanjem derivacije (11.20)
dolazi se do
∞
∂ ψ
∂ x = ∑
( ) 2 ∂ ψ
=
∂ x
E p = F nap
2
·
·
n=1
[ ∞
∑
n=1
[ ∞
∑
∞∑
n=1
m=1
nπ
L
∞∑
m=1
nπ
L
mπ
L
nπx
cos
L
nπ
L
0
nπx
cos
L
mπx
cos
L
mπ
L
(
a n cos nπv ft
L
∫ L
(
a n cos nπv ft
L
+ b n sin nπv ft
L
0
(
a n cos nπv ft
L
+ b n sin nπv )
ft
L
+ b n sin nπv ft
L
) ]
(
a m cos mπv ft
+ b m sin mπv ft
L
L
) ] ,
cos nπx mπx
cos
L L
d x
) (
a m cos mπv ft
+ b m sin mπv ft
L
L
Opet je integral po prostornoj koordinati različit od nule samo ako je n = m
∫ L
0
cos nπx
L
mπx
cos
L
d x = L 2 δ n,m.
6 Sve do sada smo članove srazmjerne (∂ ψ/∂ x) 2 zanemarivali, a sada ga zadržavamo. Zašto? Nije li to nekonzistentno s
dosadašnjim izvodima? Nije: u svim dosadašnjim izvodima, spomenuti član nije bio vodeći član, nego mala korekcija u odnosu na,
puno veći, vodeći član. Sada, na ovom mjestu je taj član vodeći član u odnosu na ostale, puno manje članove. Zanemarivanje njega
vodi na E p ≃ 0, a to ne želimo.
)
.