KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

8.3.
OPĆENITO GIBANJE KOORDINATNIH SUSTAVA 237
Definira li se gravitacijsko polje (tj. ubrzanje) ⃗g kao
⃗g = −G M Z
⃗ R + ⃗r
| ⃗ R + ⃗r| 3 − ⃗ Ω × ( ⃗ Ω × ⃗ R ), (8.8)
jednadžba gibanja postaje
d 2 ⃗r
d t 2 = ⃗g − 2⃗ Ω × ⃗v − ⃗ Ω × ( ⃗ Ω × ⃗r).
Ako je ⃗r malen u usporedbi s polumjerom Zemlje, tada je posljednji član gornje jednadžbe
srazmjeran s Ω 2 , pa je zato puno manji od prethodna dva člana koji su reda veličine Ω i može
se zanemariti. Uz ovu aproksimaciju, jednadžba gibanja se dalje pojednostavljuje do
d 2 ⃗r
d t 2 = ⃗g − 2⃗ Ω × ⃗v.
Ako osim gravitacijske sile djeluju još neke sile ⃗ F j , desnoj strani gornje jednadžbe treba dodati
članove oblika ⃗ F j /m.
d 2 ⃗r
= ⃗g + 1 ∑
⃗F
d t 2 j − 2Ω m
⃗ × d ⃗r
d t ,
j
F
= ⃗ m − 2⃗ Ω × d ⃗r
d t
gdje su s F ⃗ /m = ⃗g + ∑ ⃗ j
F j /m označene sve sile (podijeljene s masom). Rješenje gornje jednadžbe
je potpuno odredeno zadavanjem početnih uvjeta. Postavit ćemo najopćenitije početne
uvjete: neka je u t = 0 položaj čestice ⃗r(0) = ⃗r 0 , a brzina neka je ˙⃗r(0) = ⃗v 0 . Jednadžbu ćemo
rješavati uz:
♣ pretpostavku da su Ω ⃗ i F ⃗ konstantni u vremenu, i
♣ zanemarivanje članova srazmjernih s Ω 2 , Ω 3 , · · · .
Integracijom po vremenu gornje jednadžbe, dolazi se do
d 2 ⃗r F
= ⃗ d t 2 m − 2⃗ Ω × d ⃗r
d t
/ ∫ t
dt
˙⃗r(t) − ˙⃗r(0) = ⃗ F
m t − 2⃗ Ω × [⃗r(t) − ⃗r(0)]
⃗v(t) = ⃗v 0 + ⃗ F
m t − 2⃗ Ω × ⃗r(t) + 2 ⃗ Ω × ⃗r 0 .
Uvrštavanjem gornjeg izraza za brzinu u (8.9)
F ¨⃗r = ⃗ [
m − 2⃗ F
Ω × ⃗v 0 + ⃗ ]
m t − 2⃗ Ω × ⃗r(t) + 2Ω ⃗ × ⃗r 0
i zanemarivanjem članova srazmjernih s Ω 2 , Ω 3 , · · · , dolazi se do
¨⃗r = ⃗ F
m − 2⃗ Ω × ⃗v 0 − 2t
m ⃗ Ω × ⃗ F + O(Ω 2 ).
0
(8.9)