KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

206 POGLAVLJE 7. GRAVITACIJA I CENTRALNE SILE
(2): Drugi način je ovaj: uvedimo novu varijablu
koju shvaćamo kao funkciju kuta ϕ
˙ρ = d ρ
d t = d ρ
d ϕ
¨ρ = d ˙ρ
d t = d d t
u(ϕ) = 1/ρ
L 0
m = ρ2 ˙ϕ = 1 u 2 ˙ϕ ⇒ ˙ϕ = L 0
m u2
d ϕ
d t = d u−1 −1 d u ˙ϕ =
d ϕ u 2 d ϕ
(
− L )
0 d u
= − L 0
m d ϕ m
= − L 0
m ˙ϕ d2 u
d ϕ 2 = − L2 0
m 2 u2 d2 u
d ϕ 2 .
Sada jednadžba gibanja (7.50), poprima oblik
L 0
m u2 = − L 0 d u
m d ϕ ,
d d u
d ϕ d t = −L 0
m
d
d ϕ
( d u
d ϕ
)
d ϕ
d t
(
m − L2 0 d2 u
m 2 u2 d ϕ − 1 2 u
m(¨ρ − ρ ˙ϕ 2 ) = f(ρ)
)
L 2 0
m 2 u4
= f(1/u)
/
·
−m
L 2 0u 2 ,
d 2 u
d ϕ + u = − m f(1/u)
, (7.52)
2 L 2 0 u 2
gdje je u = u(ϕ), tj. eliminirano je vrijeme. Gornja se jednadžba zove Binetova 20 formula.
Ako se sada vratimo u varijablu ρ = 1/u,
d u
d ϕ = d
d ϕ
d 2 u
= d
d ϕ 2 d ϕ
1
ρ = −1 d ρ
ρ 2 d ϕ ,
( ) −1 d ρ
ρ 2 d ϕ
= 2 ( ) 2 d ρ
− 1 d 2 ρ
ρ 3 d ϕ ρ 2 d ϕ , 2
Binetovu formulu (7.52) možemo napisati i u varijabli ρ = ρ(ϕ)
( ) 2
2 d ρ
− 1 d 2 ρ
ρ 3 d ϕ ρ 2 d ϕ + 1 2 ρ = m ρ 2 f(ρ)
L 2 0
/
· (−ρ 2 ),
d 2 ρ
d ϕ − 2 ( 2 d ρ
− ρ = 2 ρ d ϕ) m ρ 4 f(ρ) (7.53)
L 2 0
20 Jacques Philippe Marie Binet, 1786. - 1856., francuski matematičar.