KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

368 POGLAVLJE 13. PROSTORNO GIBANJE KRUTOG TIJELA
gdje su A i Ω ⊥ konstante. Odaberu li se početni uvjeti tako da je u t = 0 i ω 2 = 0, slijedi da
je A = 0, tj.
ω 2 = Ω ⊥ sin ω 0 t.
Vrijednost ω 0 dobiva se iz diferencijalne jednadžbe (13.14) za ω 2 , i ona iznosi
ω 0 = Ω 3
|I 3 − I 1 |
I 1
.
Uvrštavanje ω 2 u jednadžbu (13.13) za ω 1 , daje
ω 1 = Ω ⊥ cos ω 0 t.
Uzeto sve zajedno, os vrtnje, tj. vektor ⃗ω (t), gledano iz sustava glavnih osi tijela, mijenja svoj
smjer u vremenu na slijedeći način
⃗ω (t) = ê 1 Ω ⊥ cos ω 0 t + ê 2 Ω ⊥ sin ω 0 t + ê 3 Ω 3
(primjetimo da i Ω ⊥ i Ω 3 imaju dimenziju kutne brzine). Primjećujemo da je kutna brzina
vrtnje konstantnog iznosa ω = √ Ω 2 ⊥ + Ω 2 3 i zato vektor ⃗ω opisuje stožac u prostoru tako da je
os stošca visine Ω 3 u smjeru ê 3 , a polumjer baze je Ω ⊥ (slika 13.6), tj. ⃗ω precesira oko ê 3 .
Kutna brzina precesije je ω 0 pa je vrijeme jednog obilaska T 0 = 2π/ω 0 . Konkretno, za Zemlju
Slika 13.6: Precesija ⃗ω (t) oko ê 3 .
je
ω 3 = Ω 3 = 2π rad
dan , I 3 − I 1
I 1
= 0.00327,
pa period precesije iznosi oko T 0 = 305 dana ili desetak mjeseci. Ovo je vrijednost za T 0 blizu
opažene vrijednosti koja iznosi približno 430 dana, a razlika se objašnjava, već spomenutom,
činjenicom da Zemlja nije savršeno kruta, već ima i tekući jezgru, pa u razmatranje treba uzeti
i hidrodinamičko ponašanje tekućine koja se vrti, a takoder treba uzeti u obzir i atmosferska
gibanja, utjecaj plimnog trenja, elastičnosti Zemlje (koja ipak nije savršeno kruta) i slično.