KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

30 POGLAVLJE 2.
MATEMATIČKI UVOD - ELEMENTI VEKTORSKOG RAČUNA
Slika 2.12: Tok radij vektora kroz plohu valjka.
ẑ , slijedi
∮
∮
⃗r dS ⃗ = (ρˆρ + zẑ ) [dB 1 (−ẑ ) + dB 2 (+ẑ ) + dP ˆρ ]
∫ [ ( ) ( ) ]
−H H
= RdP − dB 1 + dB 2
2
2
∫
= R dP + H ∫
dB 1 + H ∫
dB 2 = 3R 2 πH.
2 2
Do istog se rezultata može doći i primjenom Gaussova teorema. Tako je npr. u
pravokutnom koordinatnom sustavu u kojemu znamo oblik divergencije i gdje je
⃗r = xˆx + yŷ + zẑ
∮
∫
⃗r dS ⃗ =
( −→ ∫
∇⃗r) d 3 r =
( ∂x
∂x + ∂y
∂y + ∂z )
∂z
∫
d 3 r = 3
d 3 r = 3V valj. = 3R 2 πH.
Primjer: 2.4 Iz elektrostatike je poznat izraz za električno polje jednoliko naelektrizirane kugle
polumjera R i ukupnog naboja Q
⃗E < = ρ 0
⃗r, r ≤ R,
3 ɛ 0
1
⃗E > = Q ⃗r r ≥ R,
4πɛ 0 r 3
gdje je ρ 0 = Q/(4R 3 π/3) (primjetimo da je polje izvan kugle jednako polju točkastog
naboja iznosa Q). Provjerite prvu Maxwellovu jednadžbu na ovom primjeru.
R: Prema prvoj Maxwellovoj jednadžbi je −→ ∇ ⃗ E = ρ el /ɛ 0 . Unutar kugle je
ρ el = ρ 0 , a izvan kugle je ρ el = 0, pa se treba uvjeriti da Maxwellova jednadžba