KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

278 POGLAVLJE 10. SUSTAVI ČESTICA
Slika 10.6: Primjer veze medu česticama (A) i uvjeta od vanjskih sila (B).
pomak. On se razlikuje od pravog pomaka d⃗r j koji se dogada u vremenskom intervalu dt ≠ 0
tijekom kojega se i sile i uvjeti mogu promjeniti (zamišljeni pomak δ⃗r j se dogada uz fiksne sile
i uvjete). Za simbol δ vrijede ista pravila kao i za diferencijal d, npr.
δ(sin θ) = cos θ δθ,
δ(x 2 ) = 2 x δx.
Promatra se sustav vezanih čestica na koji djeluju vanjske sile (one koje nisu opisane uvjetima
na gibanje). Vanjsku silu na j-tu česticu ćemo označiti ⃗ F v,j . Zadatak je
naći uvjete pod kojima je ovakav sustav vezanih čestica u ravnoteži.
Zamislimo da je j-ta čestica pomaknuta za δ⃗r j u skladu s vezama medu česticama i vanjskim
silama. Zbog tih istih veza i vanjskih sila, biti će pomaknute i neke druge čestice sustava, pa će
u tom slučaju ukupan zamišljeni rad vanjskih sila obavljen nad cijelim sustavom biti jednak
δW = F ⃗ v,1 δ⃗r 1 + F ⃗ v,2 δ⃗r 2 + · · · + F ⃗ N∑
v,N δ⃗r N = ⃗F v,j · δ⃗r j .
Ako vanjske sile mogu izvršiti (pozitivan) rad nad sustavom vezanih čestica, one će ga i izvršiti
tj. zamišljeni pomaci će se realizirati i sustav će prijeći iz jedne konfiguracije u drugu i δW će
biti različit od nule. Jedino ako pri svim zamišljenim pomacima rad iščezava, sustav će ostati
u mirovanju. Dakle, uvjet ravnoteže sustava vezanih čestica glasi
j=1
δW =
N∑
j=1
⃗F v,j · δ⃗r j = 0. (10.31)
Ta se relacija zove Lagrange-ovo 3 načelo ili načelo zamišljenih (virtualnih) pomaka. Za
sustav nevezanih čestica su pomaci δ⃗r j medusobno neovisni, pa je gornji zbroj jednak nuli
3 Joseph Louis comte de Lagrange, 1736 - 1813, francuski matematičar.