KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

270 POGLAVLJE 10. SUSTAVI ČESTICA
Pa je zato njezin potpuni diferencijal jednak
d E u p = ∂Eu p
∂x i
dx i + ∂Eu p
∂y i
dy i + ∂Eu p
∂z i
dz i + ∂Eu p
∂x j
dx j + ∂Eu p
∂y j
dy j + ∂Eu p
∂z j
dz j . (10.19)
Pokažimo da ovakva potencijalna energija vodi na sile koje zadovoljavaju treći Newtonov aksiom
(akcije i reakcije). Sila kojom i-ta čestica djeluje na j-tu česticu je
⃗f i,j = − −→ ∇ j E u p (r i,j ) = −ˆx ∂Eu p (r i,j )
∂x j
− ŷ ∂Eu p (r i,j )
∂y j
− ẑ ∂Eu p (r i,j )
∂z j
.
Oznaka −→ ∇ j znači da se derivacije računaju po koordinatama s indeksom j. Isto tako je i sila
kojom čestica j djeluje na česticu i jednaka
⃗f j,i = − −→ ∇ i E u p (r j,i ),
zbog simetrije potencijalne energije E u p (r i,j ) = E u p (r j,i ), gornji izraz prelazi u
⃗f j,i = − −→ ∇ i E u p (r i,j ).
No, u skladu s (10.18), derivacije po koordinatama i i j se razlikuju u predznaku, npr.
i zato je
∂Ep u (r i,j )
= ∂Eu p (r i,j ) ∂r i,j
= ∂Eu p (r i,j )
(−) ∂r i,j
= − ∂Eu p (r i,j )
∂x i ∂r i,j ∂x i ∂r i,j ∂x j ∂x j
− −→ ∇ i E u p (r i,j ) = + −→ ∇ j E u p (r i,j ) = − ⃗ f i,j ,
tj. ⃗ f j,i = − ⃗ f i,j u skladu s trećim Newtonovim aksiomom.
Izračunajmo rad medučestičnih sila pri infinitezimalnom pomaku j-te čestice za d⃗r j i i-te
čestice za d⃗r i
(
)
⃗f i,j d⃗r j + f ⃗ j,i d⃗r i = − ˆx ∂Eu p (r i,j )
+ ŷ ∂Eu p (r i,j )
+ ẑ ∂Eu p (r i,j )
(ˆx dx j + ŷ dy j + ẑ dz j )
∂x j ∂y j ∂z j
(
)
− ˆx ∂Eu p (r i,j )
+ ŷ ∂Eu p (r i,j )
+ ẑ ∂Eu p (r i,j )
(ˆx dx i + ŷ dy i + ẑ dz i )
∂x i ∂y i ∂z i
( ∂E
u
p (r i,j )
= −
dx j + ∂Eu p (r i,j )
dy j + ∂Eu p (r i,j )
dz j
∂x j ∂y j ∂z j
)
+ ∂Eu p (r i,j )
dx i + ∂Eu p (r i,j )
dy i + ∂Eu p (r i,j )
dz i .
∂x i ∂y i ∂z i
Desna strana je upravo potpuni diferencijal unutarnje potencijalne energije (10.19), koja je
funkcija šest varijabli: x i , y i , z i , x j , y j , z j , tj. dobili smo da je
⃗f i,j d⃗r j + ⃗ f j,i d⃗r i = −dE u p (r i,j ).
Zbrojimo gornju jednadžbu po i i j:
N∑
i=1
N∑
j=1
⃗f i,j d⃗r j +
N∑
i=1
N∑
j=1
⃗f j,i d⃗r i = −
N∑
i=1
N∑
dEp u (r i,j ).
j=1