KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

14.7. HAMILTONOVO NAČELO 407
14.7.1 Primjene Euler - Lagrangeove jednadžbe
Evo i nekoliko primjera primjene Euler - Lagrangeove jednadžbe.
(1) Zadatak je naći krivulju koja spaja točke A i B u ravnini (x, y), sa svojstvom da je duljina
krivulje najmanja (slika 14.5.A). Iz iskustva svi znamo da je to pravac, a sada ćemo pokazati
kako se to može i izračunati. Podijelimo cijelu krivulju na male elemente označene s ds. Duljinu
Slika 14.5: Uz primjene varijacijskog računa.
krivulje dobivamo tako da zbrojimo sve te male elmente. Kada broj tih malih elementata teži k
beskonačnosti, njihov zbroj prelazi u integral, pa za duljinu I, cijele krivulje, možemo napisati
I =
Za mali ds vrijedi Pitagorin poučak ds = √ (dx) 2 + (dy) 2 , pa gornji integral postaje
√
∫ B √
∫ xB
( ) 2
I = (dx) 2 dy
+ (dy) 2 = dx 1 + .
dx
A
∫ B
A
Uvjet da udaljenost izmedu A i B bude najkraća sada postaje uvjet da integral I bude minimalan.
No, to je upravo problem (14.23) sa funkcijom
ds.
x A
F (y, y ′ ; x) = √ 1 + y ′ 2 = F (y ′ ).
Da bi I bio ekstreman (u ovom slučaju iz geometrije znamo da se radi o minimumu), F mora
zadovoljavati jednadžbu (14.25). Lako je vidjeti da je
∂ F
∂ y = 0,
pa Euler - Lagrangeova jednadžba glasi
( )
d y ′
√ = 0 ⇒
dx 1 + y
′ 2
∂ F
∂ y ′ =
y ′
√
1 + y
′ 2 ,
y ′
√
1 + y
′ 2 = const.