KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

14.5. LAGRANGEOVE JEDNADŽBE ZA IMPULSNU SILU 401
14.5 Lagrangeove jednadžbe za impulsnu silu
Neka u kratkom vremenskom intervalu τ, na j-tu česticu sustava djeluje vanjska sila F ⃗ j (t).
Interval djelovanja sile je iščezavajuće kratak, ali je sila dovoljno velika (kratki impuls jake sile)
da je donji integral konačan.
∫ τ
lim ⃗F j (t) dt = I ⃗ j .
τ→0
0
Sila koja zadovoljava ovaj uvjet, naziva se impulsna sila, a ⃗ I j se zove impuls. Iz (14.14) znamo
da za holonomni sustav vrijedi
( )
d ∂ Ek
− ∂ E k
= Φ s =
d t ∂ ˙q s ∂ q s
N∑
j=1
⃗F j
∂ ⃗r j
∂ q s
.
Prointegrirajmo cijelu gornju jednadžbu po vremenu od 0 do τ
∫ τ
dt d ( ) ∫ ∂ τ Ek
−
0 d t ∂ ˙q s 0
( ( ∫ ∂ Ek ∂ τ Ek
− −
∂ ˙q s
)τ
∂ ˙q s
)0 0
( ∂ Ek
−
∂ ˙q s
)2
dt ∂ E k
∂ q s
=
dt ∂ E k
∂ q s
=
( ∂ Ek
− 0 =
∂ ˙q s
)1
N∑
∫ τ
j=1 0
∫ τ
N∑
j=1
N∑
j=1
0
⃗I j
∂ ⃗r j
∂ q s
,
dt ⃗ F j
∂ ⃗r j
∂ q s
dt ⃗ F j
∂ ⃗r j
∂ q s
/
lim
τ→0
gdje su indeksom 1 označene veličine prije, a indeksom 2 poslije djelovanja sile. Uvede li se
poopćeni impuls
⃗F s =
N∑
j=1
⃗I j
∂ ⃗r j
∂ q s
,
i sjetimo li se definicije poopćene količine gibanja, (14.15), p s = ∂E k /∂ ˙q s , prethodna jednadžba
pokazuje da je promjena poopćene količine gibanja jednaka poopćenom impulsu
što je pak poopćenje izraza (10.30).
p s,2 − p s,1 = ⃗ F s ,
14.6 Lagrangeova funkcija naelektrizirane čestice u elektromagnetskom
polju
U izvodu jednadžba (14.16) i (14.20) je pretpostavljeno da potencijalna energija ne ovisi o brzini.
U velikom broju primjera, to je točno, ali postoji jedan važan izuzetak, a to je nalektrizirana
čestica koja se giba u elektromagnetskom polju. Neka je električni naboj čestice Q, a brzina ˙⃗r.
Elektromagnetsko polje neka je opisano vektorima električnog polja ⃗ E i indukcije magnetskog
polja ⃗ B . Na naelektriziranu česticu koja se giba, djeluje Lorentzova sila
⃗F L = Q ( ⃗ E + ˙⃗r × ⃗ B ).