KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

10.2.
SREDIŠTE MASE 263
Uvedu li se gustoće: volumna ρ m = dm/dV , površinska σ m = dm/dS i linijska λ m = dm/dl,
položaj središta mase i ukupna masa volumne raspodjele čestica se odreduje pomoću
∫
V
⃗r SM =
⃗r ρ m(⃗r) dV
∫
ρ V m(⃗r) dV
∫V
, m = ρ m (⃗r) dV ;
položaj središta mase i ukupna masa površinske raspodjele čestica se odreduje pomoću
∫
S
⃗r SM =
⃗r σ ∫
m(⃗r) dS
∫
σ m = σ m (⃗r) dS;
S m(⃗r) dS
S
i položaj središta mase i ukupna masa linijske raspodjele čestica se odreduje pomoću
∫
l
⃗r SM =
⃗r λ ∫
m(⃗r) dl
∫
λ m = λ m (⃗r) dl.
l m(⃗r) dl
l
Svaka od gornje tri vektorske relacije za račun položaja središta mase, se može napisati i kao tri
skalarne relacije. Npr. raspis prve od njih u pravokutnom koordinatnom sustavu (za diskretnu
i kontinuiranu raspodjelu čestica), vodi na
x SM = 1 m
y SM = 1 m
z SM = 1 m
N∑
m j x j = 1 ∫
m
j=1
N∑
m j y j = 1 ∫
m
j=1
N∑
m j z j = 1 ∫
m
j=1
V
V
V
x ρ m (x, y, z) dx dy dz,
y ρ m (x, y, z) dx dy dz,
z ρ m (x, y, z) dx dy dz.
Slično se dobije i za raspis u drugim koordinatnim sustavima. Ukoliko gustoću mase shvatimo
kao funkciju gustoće raspodjele P m (⃗r) = ρ m (⃗r), tada se ⃗r SM pojavljuje kao prvi moment te
raspodjele. Opći n-ti moment raspodjele se dobije kao
∫
〈 ⃗r n V
〉 =
⃗r n P m (⃗r) d 3 r
∫V P m(⃗r) d 3 r .
Slične izraze smo već dobivali u poglavlju o gravitaciji: (7.39) i (7.42).
Ako se sutav nalazi u jednolikom gravitacijskom polju, tada se središte mase naziva i središte
gravitacije ili težište. Naime, ako brojnik i nazivnik izraza za ⃗r SM pomnožimo s g, ubrzanjem
Zemljinog gravitacijskog polja, dobivamo za ⃗r SM
⃗r SM =
∑ N
j=1 g m j ⃗r j
∑ N
j=1 g m j
=
∑ N
j=1 F G,j ⃗r j
∑ N
j=1 F G,j
,
što je upravo definicija težišta.
Pokažimo da položaj središta mase ne ovisi o izboru ishodišta koordinatnog sustava.
Postavimo dva koordinatna sustava, jedan s ishodištem u točki O i drugi s ishodištem u točki
O ′ , kao na slici 10.4.A. S ⃗r j je označen položaj j-te čestice s masom m j u odnosu na sustav s