KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

11.2. MALI TRANSVERZALNI TITRAJI KONTINUIRANOG JEDNODIMENZIJSKOG SUSTAVA ČESTICA 317
niti u trenutku t = 0 (Fourierova analiza, dodatak C):
∫ L
0
f 0 (x) cos
ψ(x, t = 0) = f 0 (x) =
(2 m + 1)πx
2 L
dx =
∞∑
cos
n=0
(2 n + 1)πx
a n ,
2 L
/∫ L
cos
0
(2 m + 1)πx
2 L
∞∑
∫ L
(2 n + 1)πx (2 m + 1)πx
a n cos cos dx = L
0 2 L
2 L 2 a m.
} {{ }
= (L/2) δ n,m
n=0
dx
a n = 2 L
∫ L
0
f 0 (x) cos
(2 n + 1)πx
2 L
Primjenimo sada početni uvjet na brzinu u trenutku t = 0
∂ψ(x, t)
∞∑
/∫
g 0 (x) = (2 n + 1)πx (2 n + 1)πv L
f
(2 m + 1)πx
∂t ∣ = cos b n cos
t=0
2 L
2 L
n=0
0 2 L
∫ L
(2 m + 1)πx
∞∑
∫
(2 n + 1)πv L
f
g 0 (x) cos dx =
b n cos (2 n + 1)πv f (2 m + 1)πc
cos dx
0
2 L
2 L
n=0
0 2 L
2 L
} {{ }
= (L/2) δ n,m
(2 m + 1)πc
= b m .
4
Za poznatu funkciju g 0 (x), koeficijenti b n se računaju iz
dx.
dx
b n =
∫
4
L
(2 n + 1)πv f
0
g 0 (x) cos
(2 n + 1)πx
2 L
dx.
Ukupno rješenje za amplitudu titranja dobijemo uvrštavanjem eksplicitnih izraza za a n i b n
∞∑
{[ ∫
(2 n + 1)πx 2 L
]
(2 n + 1)πz (2 n + 1)πct
ψ(x, t) = cos ·
f 0 (z) cos dz cos
2 L
L
n=0
0
2 L
2 L
[
∫
4
L
]
}
(2 n + 1)πz (2 n + 1)πct
+
g 0 (z) cos dz sin .
(2 n + 1)πv f 2 L
2 L
11.2.6 Nit slobodna na oba ruba
Opet započinjemo s valnom funkcijom u obliku
ψ(x, t) = (a 1 cos kx + b 1 sin kx)(a 2 cos kv f t + b 2 sin kv f t),
gdje ćemo četiri nepoznate konstante odrediti pomoću rubnih i početnih uvjeta.
Rubni uvjeti:
∂ ψ(x, t)
x = 0 ⇒ ∂ x ∣ = 0 = b 1 k (a 2 cos kv f t + b 2 sin kv f t) ⇒ b 1 = 0,
x=0
∂ ψ(x, t)
x = L ⇒ ∂ x ∣ = 0 = −a 1 sin kL (a 2 cos kv f t + b 2 sin kv f t)
x=L
⇒ kL = nπ, n = 1, 2, · · · ,
0