KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

114 POGLAVLJE 5. GIBANJE ČESTICE U POLJU KONSTANTNE SILE I SILA OVISNIH O BRZINI
s rješenjem (kada se vratimo u početne oznake)
v z (t) = v 0 sin α e −β t/m − m β g (
1 − e −β t/m ).
Sada, kada su poznate svi tri komponente brzine, njihovom integracijom uz uvrštavanje početnih
uvjeta, dobiju se položaji
x(t) = 0,
y(t) = m β v 0 cos α
z(t) = z 0 + m β v 0 sin α
(1 − e −β t/m )
,
(1 − e −β t/m )
− m β g t + m 2
β 2 g (
1 − e −β t/m ).
(5.19)
U granici β → 0, kada sila trenja iščezava, iz (5.19) i odgovarajućih derivacija, dobiju se
rezultati za kosi hitac bez trenja
lim y(t) = v 0 t cos α,
β → 0
lim v y(t) = v 0 cos α,
β → 0
lim a y(t) = 0,
β → 0
lim
β → 0 z(t) = z 0 + v 0 t sin α − 1 2 g t2 ,
lim v z(t) = v 0 sin α − g t,
β → 0
lim a z(t) = −g.
β → 0
Slično kao i kod slobodnog pada, i sada se može pokazati da mehanička energija nije sačuvana,
nego se smanjuje uslijed trenja. Izravnom derivacijom ukupne mehaničke energije
E = m 2 (ẏ 2 + ż 2 ) + mgz
po vremenu, i uvrštavanjem (5.19) i odgovarajućih derivacija, dolazi se do
dE
dt
= mẏ ÿ + mż (g + ¨z )
= −β
{
v 2 0 cos 2 α e −2β t/m +
[
v 0 sin α e −β t/m − m g
β
(
1 − e −β t/m ) ] 2 }
Izraz u vitičastoj zagradi gornjeg izraza je zbroj dva pozitivna broja, pa je i sam uvijek pozitivan,
što znači da se energija smanjuje s vremenom U granici slabog prigušenja, tj. za male vrijednosti
β je
dE
(
)
dt = −β v0 2 − 2 v 0 g t sin α + g 2 t 2 − β 2 g t2
m
(v 0 sin α − 1 2 g t )
)
+ O
(β 3 .