KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

134POGLAVLJE 6. GIBANJE POD DJELOVANJEM ELASTIČNE SILE: HARMONIJSKI OSCILATOR I MATEMATIČK
Iz rješavanja jednadžbe za a 1 smo vidjeli da član s cos ϕ na desnoj strani, vodi na neperiodički
dio rješenja za a 1 , pa se stoga taj član ne smije pojaviti niti na desnoj strani jednadžbe za
a 2 , tj. mora biti b 2 = −5x 2 0/6. Jednadžba za a 2 je nehomogena, pa je njezino rješenje zbroj
rješenja homogene i partikularnog rješenja nehomogene jednadžbe: a 2 = a 2,H +a 2,P . Homogeno
rješenje je opet oblika A cos ϕ + B sin ϕ, dok ćemo za partikularno rješenje pretpostaviti red
oblika c n cos nϕ (izostavivši član s n = 1, koji vodi na neperiodičnost)
a 2,P = c 0 + c 2 cos 2ϕ + c 3 cos 3ϕ.
Konstante c j odredujemo iz zahtjeva da a 2,P zadovoljava jednadžbu (6.15)
Ukupno rješenje za a 2
c 0 = − x3 0
3 , c 2 = x3 0
9 , c 3 = x3 0
48 .
a 2 = A cos ϕ + B sin ϕ − x3 0
3 + x3 0
9 cos 2ϕ + x3 0
cos 3ϕ,
48
sadrži konstante A i B koje se odrede iz početnih uvjeta (6.11): A = 29x 3 0/144, B = 0,
a 2 = − x3 0
3 + 29 x3 0
144 cos ϕ + x3 0
9 cos 2ϕ + x3 0
48 cos 3ϕ, b 2 = − 5 6 x2 0. (6.16)
Uvrštavanje rješenja (6.13), (6.14) i (6.16) u razvoj (6.9) za otklon x(ϕ) daje
( 1
x(ϕ) = x 0 cos ϕ+
2 − cos ϕ ) (
cos 2ϕ
− x 2 0 ɛ 1 + − 1 )
29 cos ϕ cos 2ϕ cos 3ϕ
+ + + x 3 0 ɛ 2 +· · ·
3 6
3 144 9 48
(6.17)
Nakon preraspodjele članova, izraz za otklon, se može napisati preglednije kao
{ ( 1
x = x 0
2 x 0 ɛ − 1 ) (
3 x2 0 ɛ 2 + · · · + 1 − 1 3 x 0 ɛ + 29
)
144 x2 0 ɛ 2 + · · · cos ωt (6.18)
(
+ − 1 6 x 0 ɛ + 1 ) ( ) }
1
9 x2 0 ɛ 2 + · · · cos 2ωt +
48 x2 0 ɛ 2 + · · · cos 3ωt .
Kružna frekvencija ω iz gornjeg izraza je takoder poznata s točnošću od O(ɛ 3 ). Razvoj (6.9)
za ω daje
(
ω = ω 0 1 − 5
)
12 x2 0 ɛ 2 + · · · . (6.19)
Vidimo da uvodenje nelinearnog člana snižava frekvenciju (tj. povećava period) titranja u
odnosu na frekvenciju linearnog oscilatora (6.6). Takoder primjećujemo da sada frekvencija (pa
time i period) ovise i o početnim uvjetima (kroz x 0 ), a ne samo o svojstvima sustava (masa i
konstanta vezanja) kao kod linearnog oscilatora.
Osim ovog primjera nelinearnog oscilatora, račun smetnje se može primjeniti i na već spomenuti
primjer matematičkog njihala. Više detalja o ovome primjeru se može naći u odjeljku 15.3
reference [18] ili na str. 130 reference [5].