KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

284 POGLAVLJE 10. SUSTAVI ČESTICA
pretpostaviti da raketa gubi masu konstantnom brzinom d m/d t. Budući da je za pozitivni dt
masa rakete smanjuje, dm < 0, pretpostavit ćemo da je
∫ t
0
dm
dt
= −c 2 0 = const.
dm = −c 2 0
∫ t
0
dt = −c 2 0 t
m(t) = m(0) − c0 2 t,
✭✭✭✭✭ m k + m s + m g (t) = ✭ m✭✭✭✭
k + m s + m g (0) − c0 2 t,
m g (t) = m g (0) − c0 2 t.
Uvrštavanjem gornjeg izraza za masu u (10.35), dobiva se
[m(0) − c 2 0 t] dv
dt − v 0 c 2 0 = −[m(0) − c 2 0 t] g
dv v 0 c0
2 =
dt m(0) − c0 2 t − g
∫ t
v(t) − v(0) = −g t + v 0 c0
2 1
dt
0 m(0) − c0 2 t
m(0)
v(t) = v(0) − g t + v 0 ln
m(0) − c0 2 t .
/
1
m(0) − c0 2 t
/∫ t
dt
Uz pretpostavku da je početna brzina rakete jednaka nuli v(0) = 0, konačno se dobije za brzinu
rakete u trenutku t > 0
v(t) = v 0 ln
m(0)
− g t. (10.36)
m(0) − c0 2 t
0
Izračunajmo najveću brzinu koju može postići ovakva raketa (uz zanemarivanje relativno
male brzine −g t). To će očito biti brzina koju postigne raketa nakon što potroši svo gorivo, a
to će se dogoditi nakon vremena koje ćemo označiti s t = τ
m g (τ) = 0 = m g (0) − c0 2 τ ⇒ τ = m g(0)
.
c0
2
U tom je trenutku brzina jednaka (uz zanemarivanje brzine −g t)
v(t = τ) = v max = v 0 ln m k + m s + m g (0)
m k + m s
= v 0 ln
(
1 + m )
g(0)
.
m k + m s
Ukupna početna masa goriva i stjenki spremnika se obično označava s m 0 = m s + m g (0), a
omjer početne mase goriva i m 0 se naziva strukturni faktor i označava se s ɛ = m g (0)/m 0 .
Prijelazom sa m s i m g (0) na m 0 i ɛ pomoću relacija
za najveću brzinu se dobiva
m g (0) = ɛ m 0 , m s = (1 − ɛ) m 0 ,
(
v max = −v 0 ln 1 − ɛ
m 0
m k + m 0
)
.