KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

11.2. MALI TRANSVERZALNI TITRAJI KONTINUIRANOG JEDNODIMENZIJSKOG SUSTAVA ČESTICA 303
Slika 11.4: Sile na element napete niti duljine d s.
male pomake dx je
cos α(x + dx) = cos α(x) + O[(dx) 2 ],
pa iz gornje jednadžbe zaključujemo (s istom točnošću od O[(dx) 2 ]) da je
F nap (x + dx) = F nap (x) = F nap = const., (11.11)
tj. da je napetost približno konstantna unutar intervala dx.
Ukupna sila u okomitom smjeru je
F y = F nap (x + dx) sin α(x + dx) − F nap (x) sin α(x). (11.12)
To je sila koja izaziva okomite pomake niti, pa Newtonova jednadžba gibanja u okomitom
smjeru glasi
/
λ 0 ds ∂2 ψ
= F
∂t 2 nap (x + dx) sin α(x + dx) − F nap (x) sin α(x), · 1
dx
ds ∂ 2 ψ
λ 0 = F nap(x + dx) sin α(x + dx) − F nap (x) sin α(x)
.
dx ∂t 2 dx
U granici kada dx → 0, desna strana gornje jednadžbe prelazi u derivaciju po x od F nap (x) sin α(x),
dok je na lijevoj strani
√ √
( )
√
ds
dx = dx2 + dψ 2
2 ( ) 2 dψ
∂ψ
= 1 + → 1 + .
dx
dx
∂x
Sve zajedno, uvršteno u jednadžbu gibanja, daje
( ) 2 ∂ψ ∂
λ 0
√1 2 ψ
+
∂x ∂t = ∂
2 ∂ x (F ∂
nap sin α) = F nap sin α, (11.13)
∂ x