KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

11.2. MALI TRANSVERZALNI TITRAJI KONTINUIRANOG JEDNODIMENZIJSKOG SUSTAVA ČESTICA 315
Početni uvjeti:
Nepoznate konstante a n i b n ćemo odrediti iz početnih uvjeta na položaj i brzinu niti u trenutku
t = 0 (Fourierova analiza, dodatak C):
∫ L
0
f 0 (x) sin
ψ(x, t = 0) = f 0 (x) =
(2 m + 1)πx
2 L
dx =
∞∑
sin
n=0
(2 n + 1)πx
2 L
a n ,
/∫ L
sin
0
(2 m + 1)πx
2 L
∞∑
∫ L
(2 n + 1)πx (2 m + 1)πx
a n sin sin dx = L
0 2 L
2 L 2 a m.
} {{ }
= (L/2) δ n,m
n=0
dx
a n = 2 L
∫ L
0
f 0 (x) sin
(2 n + 1)πx
2 L
Primjenimo sada početni uvjet na brzinu u trenutku t = 0
∂ψ(x, t)
∞∑
/∫
g 0 (x) = (2 n + 1)πx (2 n + 1)πv L
f
(2 m + 1)πx
∂t ∣ = sin b n sin
t=0
2 L
2 L
n=0
0 2 L
∫ L
(2 m + 1)πx
∞∑
∫
(2 n + 1)πv L
f
g 0 (x) sin dx =
b n sin (2 n + 1)πv f (2 m + 1)πc
sin dx
0
2 L
2 L
n=0
0 2 L
2 L
} {{ }
= (L/2) δ n,m
(2 m + 1)πc
= b m .
4
Funkcija g 0 (x) je poznata (zadana), pa su koeficijenti b n odredeni izrazom
b n =
∫
4
L
(2 n + 1)πv f
0
g 0 (x) sin
dx.
(2 n + 1)πx
2 L
dx.
dx
Ukupno rješenje za amplitudu titranja dobijemo uvrštavanjem eksplicitnih izraza za a n i b n
∞∑
{[ ∫
(2 n + 1)πx 2 L
]
(2 n + 1)πz (2 n + 1)πct
ψ(x, t) = sin ·
f 0 (z) sin dz cos
2 L
L
n=0
0
2 L
2 L
[
∫
4
L
]
}
(2 n + 1)πz (2 n + 1)πct
+
g 0 (z) sin dz sin .
(2 n + 1)πv f 2 L
2 L
11.2.5 Nit sa slobodnim desnim i nepomičnim lijevim rubom
U cjelosti pratimo postupak iz prethodnog odjeljka, uz simetrično izmjenjene rubne uvjete.
Započinjemo s valnom funkcijom u obliku
ψ(x, t) = (a 1 cos kx + b 1 sin kx)(a 2 cos kv f t + b 2 sin kv f t).
Četiri nepoznate konstante ćemo ponovo odrediti pomoću rubnih i početnih uvjeta.
Rubni uvjeti:
∂ ψ(x, t)
x = 0 ⇒ ∂ x ∣ = 0 = b 1 k (a 2 cos kv f t + b 2 sin kv f t) ⇒ b 1 = 0,
x=0
x = L ⇒ ψ(L, t) = 0 = a 1 cos kL (a 2 cos kv f t + b 2 sin kv f t)
⇒ kL = (2 n + 1) π , n = 0, 1, 2, · · · .
2
0