KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

10.8. LAGRANGEOVO I D’ALEMBERTOVO NAČELO 281
Primjer: 10.5 Riješite prethodni zadatak pomoću zahtjeva da je u ravnoteži potencijalna energija
minimalna, tj. da je δE p = 0.
R: Uz zanemarivanje sila trenja, jedina (neuvjetna) sila koja djeluje na čestice
je konzervativna gravitacijska sila, koja se može izraziti preko potencijalne energije.
Neka je ukupna duljina niti l 0 = r 1 + r 2 , a E p = 0 na vrhu kosine. Tada je
E p = −m 1 g r 1 sin α 1 − m 2 g (l 0 − r 1 ) sin α 2 ,
δE p = ∂E p
∂r 1
δr 1 = −g δr 1 (m 1 sin α 1 − m 2 sin α 2 ) = 0.
Primjetimo da je E p linearna funkcija r 1 , pa zato ne može postojati minimum niti
maksimum potencijalne energije.
Gibanje:
Polazeći od Lagrangeova načela, može se doći i općeg zakona gibanja sustava vezanih
čestica. Neka vanjska sila ⃗ F v,j daje j-toj čestici ubrzanje ⃗a j . Uslijed veza medu česticama
ili uvjeta na gibanje, ovo ubrzanje ne mora biti kolinearno s vanjskom silom. Npr.
kod gibanja čestice niz kosinu uslijed djelovanja vanjske gravitacijske sile, ubrzanje čestice je
po smjeru paralelno s kosinom i prema tome nije kolinearno s vanjskom (gravitacijskom) silom
(slika 10.7).
Zamislimo sada da na česticu osim vanjske sile ⃗ F v,j djeluje još i sila jednaka negativnom umnošku
mase i ubrzanja j-te čestice: −m j ⃗a j , koja poništava djelovanja i vanjskih sila i sila od
uvjeta. Sada je zbroj svih sila koje djeluju na česticu jednaka ⃗ F v,j −m j ⃗a j i sustav je u ravnoteži,
pa Lagrangeov uvjet ravnoteže poprima oblik
N∑
j=1
(
⃗Fv,j − m j ⃗a j
)
δ⃗r j = 0. (10.34)
Gornja se jednadžba zove D’Alembertovo 4 načelo za gibanje sustava vezanih čestica.
Sličnom argumentacijom kao i kod Lagrangeova načela, zaključujemo da je uvjet ravnoteže
nevezanih čestica ekvivalentan Newtonovim jednadžbama gibanja
⃗F v,j − m j ⃗a j = 0, j = 1, 2, · · · , N,
a to je upravo drugi Newtonov aksiom za svaku pojedinu česticu. Ovime je dinamika shvaćena
kao poseban slučaj statike.
Primjer: 10.6 Koristeći D’Alembertovo načelo, opišite gibanje sustava iz primjera 10.4.
R: Uz istu označavanje kao i u prethodnim primjerima, D’Alembertovo načelo
4 Jean D’Alembert, 1717 - 1783, francuski matematičar.