KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

14.3. NEHOLONOMNI SUSTAVI 389
za sve j = 1, 2, · · · , 3N.
Ukoliko jednadžbe uvjeta (14.2) ne sadrže eksplicitno vrijeme, one se zovu skleronomne. 4
Ako jednadžbe sadrže vrijeme, zovu se reonomne. 5 .
Primjer: 14.5 Kao jednostavan primjer skleronomnog uvjeta na gibanje, može se promatrati
već spomenuti sustav dvije čestice povezane krutim štapom u ravnini (x, y) (slika
14.1.A). Uvjet na gibanje je uvjet da je udaljenost medu česticama nepromjenjiva
i jednaka duljini štapa d, relacija (14.2). To je skleronoman uvjet, jer se
u gornjoj jednadžbi vrijeme ne pojavljuje eksplicitno, nego samo implicitno, kroz
x j = x j (t), y j = y j (t). Reonoman uvjet se dobije ako se kruti štap iz prethodnog
primjera zamjeni oprugom, kao na slici 14.1.B (pri čemu pretpostavljamo samo titranje
u smjeru osi opruge, a ne i u smjerovima okomitim na tu os). U tom slučaju
jednadžba uvjeta glasi
(x 1 − x 2 ) 2 + (y 1 − y 2 ) 2 = [d + ∆ · sin ωt] 2 .
U ovoj se jednadžbi vrijeme pojavljuje implicitno kroz x j (t), y j (t) i eksplicitno u
sinusnom članu.
14.3 Neholonomni sustavi
Pogledajmo sada uvjete na gibanje, koji osim o položajima ovise i o brzinama čestica i koji se
analitički mogu prikazati diferencijalnim jednadžbama oblika
f m (η j ; ˙η j ; t) = 0, (14.3)
za j = 1, 2, · · · , N i m = 1, 2, · · · , M 2 . Može se dogoditi da je neku od M 2 gornjih jednadžba
moguće napisati kao vremensku derivaciju neke funkcije Φ koja ovisi samo o položajima čestica
sustava i vremenu
Tada veza
d Φ(η j ; t)
d t
= 0.
Φ(η j ; t) = C = const.
zamjenjuje odgovarajuću vezu s brzinama iz (14.3). Ovakve se veze nazivaju poluholonomne
veze. Odabirom odgovarajućih vrijednosti za konstante C, ove veze postaju holonomne.
Ako se veze (14.3) ne mogu napisati u obliku vremenskih derivacija nekih drugih funkcija
koordinata i vremena, onda se one zovu neholonomne ili diferencijalne ili neintegrabilne, a
sustav se zove neholonomni sustav. U općem slučaju, brzine se u (14.3) mogu pojavljivati na
proizvoljan način. No, u većini slučajeva od interesa (ali ne i isključivo), one se pojavljuju
linearno, tako da se veze (14.3) mogu napisati u obliku
N∑
A jm ˙η j + B m = 0 , m = 1, 2, · · · , M nh , (14.4)
j=1
4 σκληρøζ = suh, čvrst, krut, nepromjenjiv ; νøµøζ = zakon
5 ρηω = teći, mijenjati se; νøµøζ = zakon
A jm = A jm (η j ; t) , B m = B m (η j ; t).