KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

330 POGLAVLJE 11. MALI TITRAJI SUSTAVA ČESTICA
Jednadžbu ćemo rješavati metodom razdvajanja varijabli
ψ(ρ, ϕ, t) = R(ρ) F(ϕ) T (t).
U ovim oznakama, valna jednadžba postaje
(
R F ∂ 2 T (t) ∂ 2 R(ρ)
= F T + 1 vf
2 ∂ t 2
∂ ρ 2 ρ
)
∂ R(ρ)
+ R T
∂ ρ ρ 2
∂ 2 F(ϕ)
∂ ϕ 2 .
Sada cijelu jednadžbu podijelimo s R(ρ) F(ϕ) T (t)
1 ∂ 2 T (t)
= 1 ( ∂ 2 R(ρ)
+ 1 )
∂ R(ρ)
T vf
2 ∂ t 2 R ∂ ρ 2 ρ ∂ ρ
+ 1
F ρ 2
∂ 2 F(ϕ)
∂ ϕ 2 .
Desna strana jednadžbe ne ovisi o vremenu, pa je sa stanovišta vremenske varijable ona konstantna.
Ta konstanta ima dimenziju inverznog kvadrata duljine, pa ćemo ju označiti s −k 2
(
∂ 2 T
∂ t = 2 −k2 vf 2 1 ∂ 2 R
T ,
R ∂ ρ + 1 )
∂ R
+ 1 ∂ 2 F
2 ρ ∂ ρ F ρ 2 ∂ ϕ = 2 −k2 .
Lijevu od gornjih jednadžba prepoznajemo kao jednadžbu harmonijskog oscilatora iz odjeljka
6, čija su rješenja linearna kombinacija trigonometrijskih funkcija
T (t) = a 1 cos kv f t + b 1 sin kv f t.
Množenje desne od gornjih jednadžba s ρ 2 , vodi na
(
ρ 2 ∂ 2 R
R ∂ ρ + 1 )
∂ R
2 ρ ∂ ρ + k2 R = − 1 F
∂ 2 F
∂ ϕ 2 .
Lijeva strana ovisi samo o varijabli ρ, a desna samo o varijabli ϕ. Sa stanovišta varijable ρ,
desna je strana konstantna, a isto tako sa stanovišta varijable ϕ, lijeva je strana konstantna.
Radi se o bezdimenzijskoj konstanti koju ćemo označiti s n 2
∂ 2 F
∂ ϕ 2 = −n2 F,
( ∂ 2 R
∂ ρ + 1 2 ρ
)
∂ R
∂ ρ + k2 R = n2
ρ R. 2
Lijevu od gornjih jednadžba prepoznajemo kao jednadžbu harmonijskog oscilatora sa rješenjima
F(ϕ) = a 2 cos nϕ + b 2 sin nϕ.
Zbog kružne simetrije membrane, F mora biti periodična funkcija s periodom 2 π
a to je ispunjeno ako je
F(ϕ) = F(ϕ + 2 π),
cos nϕ = cos n(ϕ + 2 π) = cos nϕ cos n2 π − sin nϕ sin n2 π,
sin nϕ = sin n(ϕ + 2 π) = sin nϕ cos n2 π + cos nϕ sin n2 π.
Očito su gornji uvjeti zadovoljeni ako je n cijeli broj
n = 0, ±1, ±2, · · ·