KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

130POGLAVLJE 6. GIBANJE POD DJELOVANJEM ELASTIČNE SILE: HARMONIJSKI OSCILATOR I MATEMATIČK
Mehanička je energija ista u početnom kao i u bilo kojem slijedećem trenutku, E meh (0) =
E meh (t), tj. ona je konstantna (sačuvana)
E k + E p = const. (6.7)
U odjeljku 6.4 ćemo pokazati kako medudjelovanje čestice s medijem u kojem se odvija titranje,
vodi na smanjenje energije čestice (relacija (6.22)).
6.2 Gustoća vjerojatnosti
U ovom odjeljku želimo odgovoriti na slijedeće pitanje: ako se tijekom vremena, oscilator giba
po osi x unutar intervala (−A, +A), kolika je vjerojatnost da se u danom trenutku oscilator
nalazi unutar infinitezimalnog intervala [x, x + d x]? Tu ćemo vjerojatnost označiti s d P (x).
Budući da se oscilator mora nalaziti negdje u intervalu −A ≤ x ≤ +A, to za d P (x) mora
vrijediti (normiranje vjerojatnosti)
∫ +A
−A
d P (x) = 1.
Umjesto same vjerojatnosti dP (x), uobičajeno je uvesti gustoću vjerojatnosti ρ(x). I gustoća
vjerojatnosti se definira kao i sve ostale gustoće s kojima smo se do sada susretali (gustoća
mase, naboja, energije, . . . ): ako je dP (x) vjerojatnost nalaženja oscilatora negdje u intervalu
[x, x + dx], tada je gustoća vjerojatnosti dana omjerom
a uvjet normiranja glasi
ρ(x) = d P (x)
d x ,
∫ +A
−A
ρ(x) dx = 1.
Izračunajmo gustoću vjerojatnosti ρ(x) za harmonijski oscilator iz prethodnog odjeljka. Najprije
ćemo gornju relaciju normiranja transformirati tako što ćemo s integracije po prostoru,
prijeći na vremensku integraciju: dx = v dt
∫ +A
−A
ρ(x) dx =
∫ T/2
0
ρ v dt = 1.
Lako je uvjeriti se da će gornja relacija biti zadovoljena ako je
jer je tada
∫ T/2
0
ρ v dt =
ρ = 2/(vT ),
∫ T/2
0
2
v T v dt =
2 T
T
2 = 1.
Da bismo iz ρ = 2/(vT ) mogli pročitati ρ kao funkciju položaja x, treba brzinu izraziti kao
funkciju od x. Prema (6.5) je
v = dx
dt
= ω 0
√
A2 − x 2