KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

15.1. HAMILTONOVE JEDNADŽBE 415
pridružena poopćena količina gibanja konstantna u vremenu. Svrha uvodenja hamiltonijana
i jeste u tome da se u izrazu za H neke koordinate ne pojavljuju, što odmah pojednostavljuje
rješavanje jednadžba gibanja. Poopćene koordinate koje se ne pojavljuju eksplicitno u
hamiltonijanu, zovu se ciklične koordinate.
Primjer: 15.1 Koristeći polarni koordinatni sustav, napišite hamiltonijan jedne čestice koja se
giba u polju sile opisane potencijalnom energijom E p (ρ, ϕ). Napišite i Hamiltonove
jednadžbe gibanja.
R: Čestica koja se slobodno giba u ravnini ima dva stupnja slobode, a za dvije
poopćene koordinate uzimaju se
q 1 = ρ, q 2 = ϕ.
Za S = 2 stupnja slobode će biti 2 S = 4 Hamiltonove jednadžbe gibanja. Iz veze s
polarnih i pravokutnih koordinata,
x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ,
lako se dolazi do izraza za kinetičku energiju u polarnom sustavu
E k = m v2
2
Poopćene količine gibanja su definirane kao
što u ovom primjeru daje
= m 2 (ẋ 2 + ẏ 2 ) = m 2 ( ˙ρ 2 + ρ 2 ˙ϕ 2 ).
p s = ∂E k
∂ ˙q s
, s = 1, 2,
p 1 ≡ p ρ = ∂E k
∂ ˙ρ = m ˙ρ , p 2 ≡ p ϕ = ∂E k
∂ ˙ϕ = mρ2 ˙ϕ .
Hamiltonova funkcija ovisi o poopćenim koordinatama i količinama gibanja H =
H(ρ, ϕ, p ρ , p ϕ )
H = E k + E p = m 2
( p
2
ρ
m + p 2 )
2 ρ2 ϕ
m 2 ρ 4
+ E p (ρ, ϕ) = 1 ( )
p 2 ρ + p2 ϕ
+ E
2m ρ 2 p (ρ, ϕ).
Vidi se da kinetička energija ovisi o varijabli ρ, ali ne ovisi o varijabli ϕ, pa ako je
(kao npr. kod centralnih sila) E p = E p (ρ), dakle neovisno o kutu ϕ, tada je i cijeli
hamiltonijan neovisan o ϕ
ṗ ϕ = − ∂H
∂ϕ = 0 ⇒ p ϕ = mρ 2 ˙ϕ = const.,
tj. ϕ je ciklična koordinata. Ovu smo veličinu, moment količine gibanja L ≡ p ϕ ,
upoznali u poglavlju o centralnim silama, gdje smo na nešto drukčiji način dokazali