KLASIˇCNA MEHANIKA - Studentske web stranice

7.11. EKVIVALENTNOST KEPLEROVIH ZAKONA I ZAKONA GRAVITACIJE 217
pa je
ɛ = L2 0
Km C 0 =
Iz dodatka B znamo da vrijednost ɛ odreduje oblik putanje:
√
1 + 2L2 0
E. (7.61)
mK2 ɛ = 0
kružnica
0 < ɛ < 1 elipsa
ɛ = 1
ɛ > 1
parabola
hiperbola
Na kružnici je ɛ = 0, pa je, prema (7.61), energija kružnog gibanja
upravo kao što smo i dobili iz razmatranje grafa energije (7.59).
Na elipsi je 0 < ɛ < 1 i zato, prema (7.61), energija mora biti
E = E kru = − mK2 , (7.62)
2L 2 0
− mK2
2L 2 0
< E < 0.
Za gibanje po paraboli, energija mora biti jednaka nuli, a za gibanje po hiperboli, mora biti
pozitivna.
Gornja razmatranja možemo pregledno prikazati na slijedeći način:
E = −mK 2 /(2L 2 0) ⇔ ɛ = 0 ⇒ kružnica, (7.63)
−mK 2 /(2L 2 0) < E < 0 ⇔ ɛ < 1 ⇒ elipsa,
E = 0 ⇔ ɛ = 1 ⇒ parabola,
E > 0 ⇔ ɛ > 1 ⇒ hiperbola.
I ovdje se vidi kako početni uvjeti (ovdje je to vrijednost energije koja je konstantana, dakle
ista kao i u početnom trenutku), utječu na oblik 24 putanje tijela.
Izvod drugog Keplerovog zakona iz zakona gravitacije :
Ranije smo, relacijom (7.49), već pokazali da je općenito u polju bilo koje centralne sile (pa
tako i gravitacijske), površinska brzina konstantna
i time je drugi Keplerov zakon dokazan.
dS
dt = L 0
2m = const.
24 Primjetimo da je energija E zbroj kinetičke i potencijalne energije.